Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/573

néanmoins être quelquefois utile de conserver à la série cette propriété, nous allons voir ce qu’il faudra faire pour cet effet.

Considérons donc la fraction

${\frac {a+bx+cx^{2}+\ldots +cx^{2(\nu +\rho -1)-2}+bx^{2(\nu +\rho -1)-1}+ax^{2(\nu +\rho -1)}}{\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots +\mathrm {C} x^{2\mu -2}+\mathrm {B} x^{2\mu -1}+\mathrm {A} x^{2\mu }}},$

laquelle soit supposée donner naissance à la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots .$

Je dis que l’on peut diviser le numérateur de cette fraction par son dénominateur, en sorte que tant le quotient que le reste soient aussi des polynômes réciproques de degrés pairs ; en effet, si l’on suppose que le quotient soit

$\mathrm {P} +\mathrm {Q} x+\mathrm {R} x^{2}+\ldots +\mathrm {R} x^{2(\rho -1)-2}+\mathrm {Q} x^{2(\rho -1)-1}+\mathrm {P} x^{2(\rho -1)}$

et que le reste soit

$x^{\rho }\left[p+qx+rx^{2}+\ldots +rx^{2(\nu -1)-2}+qx^{2(\nu -1)-1}+px^{2(\nu -1)}\right],$

il est facile de prouver qu’en multipliant ce quotient par le diviseur

$\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots$

et y ajoutant ensuite le reste, il viendra un polynôme réciproque du degré $2(\nu +\rho -1)\,;$ et, comme le nombre des coefficients indéterminés $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ est $\rho ,$ et celui des coefficients indéterminés $p,q,r,\ldots$ est $\nu ,$ le polynôme dont il s’agit contiendra $\nu +\rho$ quantités indéterminées ; par conséquent ce polynôme sera comparable au polynôme

$a+bx+cx^{2}+\ldots ,$

où le nombre des coefficients donnés $a,b,c,\ldots$ est aussi $\nu +\rho .$

Maintenant, puisque le reste est divisible par $x^{\rho },$ il est clair que les $\rho$ premiers termes de la série

$t+t'x+t''x^{2}+\ldots$