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devront être les mêmes que les $\rho$ premiers termes du quotient

$\mathrm {P} +\mathrm {Q} x+\mathrm {R} x^{2}+\ldots ,$

afin que, ces termes étant effacés de part et d’autre, ce qui restera soit tout divisible par $x^{\rho }\,;$ on aura donc ainsi

$\mathrm {P} =t,\quad \mathrm {Q} =t',\quad \mathrm {R} =t'',\ldots \,;$

donc, après avoir effacé ce qui se détruit, et divisé le tout par $x^{\rho },$ on aura l’équation

$t^{(\rho )}+t^{(\rho +1)}x+t^{(\rho +2)}x^{2}+t^{(\rho +3)}x^{3}+\ldots =t^{(\rho -2)}+t^{(\rho -3)}x+t^{(\rho -4)}x^{2}+\ldots +tx^{\rho -2}$

$+{\frac {p+qx+rx^{2}+\ldots +rx^{2(\nu -1)-2}+qx^{2(\nu -1)-1}+px^{2(\nu -1)}}{\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots +\mathrm {C} x^{2\nu -2}+\mathrm {B} x^{2\nu -1}+\mathrm {A} x^{2\nu }}},$

d’où il s’ensuit qu’on aura

${\begin{aligned}&\left[t^{(\rho )}-t^{(\rho -2)}\right]+\left[t^{(\rho +1)}-t^{(\rho -3)}\right]x+\left[t^{(\rho +2)}-t^{(\rho -4)}\right]x^{2}+\ldots \\&\quad ={\frac {p+qx+rx^{2}+\ldots +rx^{2(\nu -1)-2}+qx^{2(\nu -1)-1}+px^{2(\nu -1)}}{\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\ldots +\mathrm {C} x^{2\nu -2}+\mathrm {B} x^{2\nu -1}+\mathrm {A} x^{2\nu }}}.\end{aligned}}$

On voit donc par là que, pour rendre la série

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+\ldots$

régulière, et en même temps originaire d’une fraction qui ait pour numérateur et pour dénominateur des polynômes réciproques de degrés pairs, il faut non-seulement y effacer les $\rho$ premiers termes, et diviser les restants par $x^{\rho },$ mais encore retrancher des coéfficients de ceux-ci les coefficients de ceux des premiers termes qui sont également éloignés du terme $\rho$^ième, c’est-à-dire, en retrancher respectivement les coefficients des termes effacés disposés à rebours, à commencer par le pénultième.

Si la série proposée avait pour fraction génératrice la fraction ci-dessus, mais dont le numérateur fût de plus multiplié par $1+x,$ ce qui le rendrait un polynôme réciproque du degré $2(\nu +\rho -1)+1,$ on