Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/576

pour dénominateur un polynôme réciproque d’un degré pair, lequel soit résoluble en facteurs trinômes de la forme

$1-2x\cos \alpha +x^{2},\quad 1-2x\cos \beta +x^{2},\ldots .$

Ainsi, pour résoudre le Problème proposé, il n’y aura qu’à faire usage de la méthode générale de la Proposition II, et chercher par son moyen la fraction génératrice de la série. Cette fraction, si la série en a une, étant trouvée, il n’y aura plus qu’à voir si elle a pour dénominateur un polynôme qui ait les propriétés dont nous venons de parler ; c’est de quoi on pourra s’assurer aisément par les formules du n^o 6 ; car, d’abord, il faudra qu’en égalant le dénominateur à zéro on ait une équation réciproque de la forme

$1+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(3)x^{2\nu -3}+(2)x^{2\nu -2}+(1)x^{2\nu -1}+x^{2\nu }=0\,;$

ensuite il faudra que la transformée

$z^{\nu }+\left[(1)\right]z^{\nu -1}+\left[(2)\right]z^{\nu -2}+\left[(3)\right]z^{\nu -3}+\ldots +\left[(\nu )\right]=0$

ait toutes ses racines réelles, inégales et comprises entre les limites $-2$ et $+2.$ On trouve, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin, pour les années 1767 et 1768^[1], des méthodes directes et faciles pour reconnaître si cette condition a lieu, et pour trouver en même temps la valeur de chaque racine aussi approchée que l’on veut.

Supposons que $\varpi ,\rho ,\sigma ,\ldots$ soient les racines dont nous parlons ; on fera

$\cos \alpha ={\frac {\varpi }{2}},\quad \cos \beta ={\frac {\rho }{2}},\quad \cos \gamma ={\frac {\sigma }{2}},\ldots ,$

et l’on en conclura sur-le-champ que le terme général $\mathrm {T} ^{(m)}$ de la série proposée sera de la forme

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\mathrm {C} \sin(c+m\gamma )+\ldots ,$

$m$ étant l’exposant du rang, et $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ $a,b,c,\ldots$ des constantes qu’on déterminera aisément par les méthodes connues.

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 539 et 581.