et étant des polynômes en dont les deux premiers seront du degré et le dernier du degré et il est facile de se convaincre que les fractions et ne seront autre chose que les fractions génératrices des séries (I) et (K) de la seconde solution ; en sorte qu’en opérant sur ces fractions, comme nous l’avons enseigné dans cet endroit, on en tirera, pour l’expression du terme général les mêmes formules que nous avons trouvées à la fin de la Solution précédente, en remarquant que le premier des deux cas que nous y avons distinguées répond à celui où l’on aura employé les séries (C), et que le second répond à celui où l’on aura fait usage des séries (D).
38. Nous avons dit, dans la seconde solution du Problème précédent, que les fractions génératrices des deux séries (I) et (K) doivent avoir le même dénominateur. Cela est vrai, en général, comme on peut s’en convaincre en relisant les nos 24, 25 et 26 ; mais il peut arriver que le dénominateur ait un facteur commun avec le numérateur d’une de ces fractions, auquel cas ce facteur s’évanouira de lui-même, et la fraction deviendra plus simple. Dans ce cas donc, si l’on multiplie par ce dénÓminateur l’autre fraction, on aura encore après la multiplication une fraction dont le numérateur sera le même qu’auparavant, et dont le dénominateur sera le facteur commun qui s’était évanoui dans la première fraction. Par conséquent cette fraction donnera aussi une série récurrente, mais dans laquelle il y aura au commencement autant de termes irréguliers qu’il y a d’unités dans le degré du polynôme par lequel elle aura été multipliée (17). D’où il est facile de conclure que, si après avoir trouvé la fraction génératrice de l’une des séries (I) ou (K) on multiplie l’autre série par le dénominateur de cette fraction, et qu’après avoir pris autant de termes de ce produit qu’il y en a dans le multiplicateur, moins un, on trouve que les termes suivants ne sont pas nuls, ce sera une marque que la fraction trouvée est dans le cas
