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méridionales ; donc la libration totale en latitude sera

$2{\frac {\sin \pi +i\cos \pi }{\sqrt {1+i^{2}}}},$

ce qui va à ${\frac {1}{4}}$ environ du rayon de la Lune. Soit maintenant $\varepsilon >$ ou $<\zeta ,$ il est évident qu’après quelques révolutions de la Lune, on devra avoir $\varepsilon =\zeta +180^{\circ }\,;$ et alors $\sin \psi$ sera égal à

${\frac {\sin(\nu -\zeta )}{\sqrt {1+i\sin ^{2}(\nu -\zeta )}}}(-\sin \pi +i\cos \pi ),$

et la libration totale égale à

$2{\frac {-\sin \pi +i\cos \pi }{\sqrt {1+i^{2}}}}={\frac {1}{9}}$ seulement du rayon de la Lune.

XXXI.

Scolie V. — Je finirai ces recherches par exposer une méthode par laquelle, ayant trois observations d’une même tache de la Lune, on pourra connaître la position de l’équateur de cette Planète par rapport à l’écliptique. Soient, comme dans l’Article XIII, $\nu -180^{\circ }$ la longitude du centre de la Lune et $\lambda$ sa latitude supposée australe, $\mathrm {U} -180^{\circ }$ la longitude de la tache et $\lambda -l$ la tangente de la latitude, dans une observastion quelconque ; il est facile de voir, en conservant les suppositions et les noms de l’Article II que l’on aura

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\frac {x}{\rho }}=\cos \nu ,\quad {\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\frac {y}{\rho }}=\sin \nu ,\quad {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\frac {z}{\rho }}=\lambda \,;$

et de même

${\frac {y-\mathrm {Y} }{\sqrt {(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}}}}=\sin \mathrm {U} ,\quad {\frac {z-\mathrm {Z} }{\sqrt {(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}}}}=\lambda -l\,;$

or

$(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}=x^{2}+y^{2}-2x\mathrm {X} -2y\mathrm {Y} =\rho ^{2}-2x\mathrm {X} -2y\mathrm {Y} ,$