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à très-peu près ; donc, en négligeant les carrés et les puissances plus hautes de $\mathrm {X,Y} ,$ aussi bien que leurs produits, on aura

${\frac {y-\mathrm {Y} }{\sqrt {(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}}}}=$

${\frac {y}{\rho }}-{\frac {\mathrm {Y} }{\rho }}+{\frac {xy\mathrm {X} }{\rho ^{3}}}+{\frac {y^{2}\mathrm {Y} }{\rho ^{3}}}=\sin \nu +\cos \nu \mathrm {\frac {X\sin \nu -Y\cos \nu }{\rho }} ,$

en mettant $\sin \nu$ et $\cos \nu$ au lieu de ${\frac {y}{\rho }},{\frac {x}{\rho }}\,;$ par conséquent, si l’on fait

$\sin \mathrm {U} =\sin \nu -\mathrm {S} ,$

on aura l’équation

(1)

$\mathrm {{\frac {\rho S}{\cos \nu }}=Y\cos \nu -X\sin \nu } .$

On trouvera de la même manière

${\begin{aligned}{\frac {z-\mathrm {Z} }{\sqrt {(x-\mathrm {X} )^{2}+(y-\mathrm {Y} )^{2}}}}=&{\frac {z}{\rho }}-{\frac {\mathrm {Z} }{\rho }}+{\frac {zx\mathrm {X} }{\rho ^{3}}}+{\frac {zy\mathrm {Y} }{\rho ^{3}}}\\=&\lambda -{\frac {\mathrm {Z} }{\rho }}+{\frac {\lambda }{\rho }}\mathrm {\left(X\cos \nu +Y\sin \nu \right)} \\=&\lambda -l\ \mathrm {(hypoth{\grave {e}}se} )\,;\end{aligned}}$

ce qui donnera

(2)

${\frac {\mathrm {Z} -\rho l}{\lambda }}=\mathrm {X\cos \nu +Y\sin \nu } .$

Il faut tirer de ces deux équations les valeurs de $\mathrm {X,Y,Z} \,;$ et pour cela on remarquera que, $r$ étant le rayon de la Lune, on aura

$\mathrm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} =r^{2},$

et que

$\mathrm {(Y\cos \nu -X\sin \nu )^{2}+(X\cos \nu +Y\sin \nu )^{2}=X^{2}+Y^{2}} =r^{2}-\mathrm {Z} ^{2}\,;$

on aura donc

$r^{2}-\mathrm {Z} ^{2}={\frac {(\mathrm {Z} -\rho l)^{2}}{\lambda ^{2}}}+{\frac {\rho ^{2}\mathrm {S} ^{2}}{\cos ^{2}\nu }},$