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d’où l’on tire

$\mathrm {Z} ={\frac {\rho l+h\lambda }{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}},$

en faisant, pour abréger,

$h={\sqrt {\left(1+\lambda ^{2}\right)\left(r^{2}-{\frac {\rho ^{2}\mathrm {S} ^{2}}{\cos ^{2}\nu }}\right)-\rho ^{2}l^{2}}}.$

Ayant la valeur de $\mathrm {Z} ,$ on trouvera aussitôt celle de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {Y}$ par les équations (1), (2), car

$\mathrm {X} ={\frac {\mathrm {Z} -\rho l}{\lambda }}\cos \nu -\rho \mathrm {S} \operatorname {tang} \nu ,\quad \mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {Z} -\rho l}{\lambda }}\sin \nu -\rho \mathrm {S} .$

On fera le même calcul pour chacune des deux autres observations, et l’on appellera $\mathrm {X',Y',Z'\,;X'',Y'',Z''}$ les valeurs correspondantes de $\mathrm {X,Y,Z} .$

Maintenant on a [Article VI (D)]

$\mathrm {Z} =r\sin p,\quad \mathrm {Y} =r\cos p\sin q,\quad \mathrm {X} =r\cos p\cos q\,;$

de plus, en combinant les deux premières formules (C),

${\begin{aligned}\sin \mathrm {P} =&\sin p\cos \pi +\cos p\sin q'\sin \pi \\&\sin p\cos \pi +\cos p\sin q\cos \varepsilon \sin \pi -\cos p\cos q\sin \varepsilon \sin \pi ,\end{aligned}}$

en mettant, au lieu de $q',$ $q-\varepsilon \,;$ donc, substituant pour $\sin p,\cos p\sin q,$ $\cos p\cos q$ leurs valeurs ${\frac {\mathrm {Z} }{r}},{\frac {\mathrm {Y} }{r}},{\frac {\mathrm {X} }{r}},$ on aura

(3)

$r\sin \mathrm {P} =\mathrm {Z} \cos \pi +\mathrm {Y} \cos \varepsilon \sin \pi -\mathrm {X} \sin \varepsilon \sin \pi$

et de même pour les deux autres observations

${\begin{array}{ll}(4)\quad \qquad &r\sin \mathrm {P} =\mathrm {Z} '\,\cos \pi +\mathrm {Y} '\,\cos \varepsilon \sin \pi -\mathrm {X} '\ \sin \varepsilon \sin \pi ,\\(5)&r\sin \mathrm {P} =\mathrm {Z} ''\cos \pi +\mathrm {Y} ''\cos \varepsilon \sin \pi -\mathrm {X} ''\sin \varepsilon \sin \pi ,\end{array}}$

en supposant que la position de l’équateur demeure la même.