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ainsi l’on aura

$\varphi -\alpha =8^{\mathrm {s} }1^{\circ }+m.70^{\circ }\,;$

donc

$\sin(\varphi -\alpha )=-\sin(61^{\circ }+m.70^{\circ }),$

et

$2\varphi =22^{s}20^{\circ }+m.140^{\circ },$

d’où

$\sin 2\varphi =-\sin(140^{\circ }+m.140^{\circ })\,;$

de sorte qu’on aura la formule

$462\sin(61^{\circ }+m.70^{\circ })+593\sin(140^{\circ }+m.140^{\circ }).$

Or la formule trouvée à posteriori est

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta ),$

c’est-à-dire, à cause de $\mathrm {A} =451,\ \mathrm {B} =591$ (n^o 42), et $\alpha =69^{\circ }59',$ $\beta =140^{\circ }1',\ a=60^{\circ }50',\ b=139^{\circ }56'$ (n^o 44),

$451\sin(60^{\circ }50'+m.69^{\circ }59')+591\sin(130^{\circ }56'+m.140^{\circ }1'),$

laquelle s’accorde, comme l’on voit, à très-peu près avec la précédente.

On voit aussi par là que les vraies valeurs de $\mathrm {A,B} \,;$ $a,b\,;$ $\alpha$ et $\beta$ sont

$\mathrm {A} =462,\quad \mathrm {B} =593\,;\quad a=61^{\circ },\quad b=140^{\circ }\,;\quad \alpha =70^{\circ },\quad \beta =140^{\circ },$

d’où l’on peut juger combien les résultats de nos méthodes approchent de la vérité.

À l’égard des autres termes de la formule ci-dessus, il est facile de se convaincre d’abord qu’ils seront nécessairement très-petits vis-à-vis des deux premiers, puisque ces termes décroissent dans des raisons moindres que $1:e$ et $1:\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\omega }{2}}.$ En effet, si l’on suppose

$e=\sin \varepsilon ,$