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on aura

$\mathrm {K} ={\frac {\sin \varepsilon }{1+\cos \varepsilon }}=\operatorname {tang} {\frac {\varepsilon }{2}}\,;$

or, ayant

$\log e=8{,}2253662,$

on trouvera

$\varepsilon =56'46'',$

d’où

$\log \mathrm {K} =\log \operatorname {tang} 28'23''=7{,}916994,$

et de là on aura pour le coefficient de $\sin 2(\varphi -\alpha )$ le nombre $2{,}9\,;$ ensuite on trouvera pour celui du terme $\sin 4\varphi$ le nombre $12{,}8\,;$ d’où l’on voit que ce dernier terme est le plus considérable après les deux premiers, mais qu’en même temps il est extrêmement petit à leur égard, de sorte qu’on sera en droit de négliger tous les suivants ; c’est pourquoi l’équation du temps pourra être représentée avec toute l’exactitude requise par cette formule

$-462''\sin(\varphi -\alpha )-593''\sin 2\varphi -3''\sin 2(\varphi -\alpha )+13''\sin 4\varphi .$

Remarque III.

45. Puisque dans les Exemples ci-dessus, on n’a poussé le calcul que jusqu’à l’a seconde division, et qu’on a ensuite négligé le reste de cette division comme nul, quoiqu’il ne fût que très-petit, il n’est pas surprenant que les valeurs trouvées par ce moyen diffèrent un peu des véritables en effet on voit, par la formule précédente, qu’outre les deux équations proportionnelles à $\sin(\varphi -\alpha )$ et à $\sin 2\varphi ,$ qui sont les plus considérables, il y en a encore deux qui montent à quelques secondes, et dont l’une est proportionnelle à $\sin 4\varphi$ et l’autre à $\sin 2(\varphi -\alpha )\,;$ il est vrai que cette dernière, outre qu’elle est très-petite, peut être combinée avec la seconde, de manière qu’il n’en résulte qu’une seule de la forme $-\mathrm {P} \sin(p+2\varphi )\,;$ car, puisque

$\sin 2(\varphi -\alpha )=\sin 2\varphi \cos 2\alpha -\cos 2\varphi \sin 2\alpha ,$