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d’où je tire sur-le-champ cette équation finie

$\mathrm {P} x-\mathrm {Q} y+\mathrm {R} z=0.$

3. Si les quantités $\mathrm {P,Q,R}$ étaient constantes, ou du moins dans des rapports constants entre elles, il est visible que cette équation serait celle d’un plan fixe passant par le point qui est l’origine des coordonnées $x,y,z,$ et dont la position dépendrait des mêmes quantités $\mathrm {P,Q,R} .$ Et il est très-aisé de démontrer que, dans ce cas, l’intersection du plan dont il s’agit avec celui des coordonnées $x$ et $y,$ c’est-à-dire, la ligne des nœuds de ces deux plans, fera, avec l’axe des abscisses $x,$ un angle dont la tangente serait $\mathrm {\frac {P}{Q}} ,$ et que l’inclinaison mutuelle des mêmes plans serait égale à l’angle qui a pour tangente $\mathrm {\frac {\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}{R}} .$

4. Or les quantités $\mathrm {P,Q,R}$ ne peuvent être constantes qu’en faisant leurs différentielles nulles, ce qui donne

$\mathrm {Y} z-\mathrm {Z} y=0,\quad \mathrm {X} z-\mathrm {Z} x=0,\quad \mathrm {X} y-\mathrm {Y} x=0\,;$

d’où l’on tire

$\mathrm {X} =\Pi x,\quad \mathrm {Y} =\Pi y,\quad \mathrm {Z} =\Pi z,$

$\Pi$ étant une quantité quelconque ; ce qui fait voir que les trois forces $\mathrm {X,Y,Z}$ se réduisent à une seule égale à

$\Pi {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},$

et toujours dirigée au point fixe qui est l’origine des coordonnées.

Mais, si l’on veut seulement que les rapports de ces quantités soient constants, en sorte que l’on ait

$\mathrm {P} =m\mathrm {R} ,\quad \mathrm {Q} =n\mathrm {R}$

($m$ et $n$ étant des coefficients quelconques), alors il faudra que l’on ait ces deux équations

$\mathrm {Y} z-\mathrm {Z} y=m(\mathrm {X} y-\mathrm {Y} x),\quad \mathrm {X} z-\mathrm {Z} x=n(\mathrm {X} y-\mathrm {Y} x).$