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première orbite, égale à $\theta \sin(\varphi -\omega ),$ et, pour la seconde, égale à $\theta _{1}\sin(\varphi -\omega _{1})\,;$ et de même, en rapportant cette orbite-là à celle-ci, la tangente de la latitude correspondant à la longitude $\varphi ,$ comptée sur cette dernière orbite, sera exprimée par $\eta \sin(\varphi -\psi ).$

Or, à cause que les deux orbites sont supposées très-peu inclinées à l’écliptique, il est clair que les tangentes des latitudes doivent être, à très-peu près, égales aux latitudes elles-mêmes ; de plus il est facile de voir que le cercle de latitude, correspondant à la longitude $\varphi$ comptée sur l’écliptique, se confondra aussi, à très-peu près, avec le cercle de latitude correspondant à la même longitude $\varphi ,$ mais comptée sur l’une des orbites. De là il est aisé de conclure que la tangente de latitude $\eta \sin(\varphi -\psi )$ sera à très-peu près égale à la différence des deux tangentes de latitude $\theta \sin(\varphi -\omega )$ et $\theta _{1}\sin(\varphi -\omega _{1}),$ de sorte qu’on aura cette équation

$\eta \sin(\varphi -\psi )=\theta \sin(\varphi -\omega )-\theta _{1}\sin(\varphi -\omega _{1}),$

laquelle devra avoir lieu, en général, quelle que soit la longitude $\varphi \,;$ on aura donc nécessairement ces deux équations particulières

${\begin{aligned}\eta \,\sin \psi =&\theta \sin \omega -\theta _{1}\sin \omega _{1},\\\eta \cos \psi =&\theta \cos \omega -\theta _{1}\cos \omega _{1},\end{aligned}}$

lesquelles serviront à déterminer le lieu du nœud commun, et la tangente de l’inclinaison mutuelle de deux orbites dont on connaît les lieux des nœuds, et les inclinaisons sur l’écliptique. On aura, en effet, par les deux formules précédentes,

$\operatorname {tang} \psi ={\frac {\theta \sin \omega -\theta _{1}\sin \omega _{1}}{\theta \cos \omega -\theta _{1}\cos \omega _{1}}},$

$\eta ={\sqrt {\left(\theta ^{2}+\theta _{1}^{2}\right)-2\theta \theta _{1}\cos(\omega -\omega _{1})}}.$

22. Cela posé, imaginons que la première des deux orbites, celle à laquelle répondent les éléments $\theta$ et $\omega ,$ se meuve sur l’autre orbite regardée comme fixe, en sorte que l’inclinaison demeure constante et que le nœud rétrograde avec une vitesse représentée par $(0,1)\,;$ il est clair