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auront pour valeurs la somme des valeurs particulières qui répondent aux vitesses $(0,1),(0,2)\,;$ par conséquent on aura, pour lors, en divisant par $dt,$

${\begin{aligned}{\frac {d(\theta \sin \omega )}{dt}}=&-(0,1)(\theta \cos \omega -\theta _{1}\cos \omega _{1})-(0,2)(\theta \cos \omega -\theta _{2}\cos \omega _{2}),\\{\frac {d(\theta \cos \omega )}{dt}}=&\quad \ (0,1)(\theta \sin \omega \,-\theta _{1}\sin \omega _{1}\,)+(0,2)(\theta \sin \omega -\theta _{2}\sin \omega _{2}\,).\end{aligned}}$

Il est aisé maintenant d’étendre ces formules à tant d’orbites mobiles, à la fois, qu’on voudra, et, si l’on y met $s,s_{1},\ldots$ à la place de $\theta \sin \omega ,$ $\theta _{1}\sin \omega _{1},\ldots ,$ et $u,u_{1},\ldots$ à la place de $\theta \cos \omega ,\theta _{1}\cos \omega _{1},\ldots ,$ suivant les dénominations établies plus haut, on en verra naître les équations du n^o 16.

23. Comme l’on a

$d(\theta \sin \omega )=\theta \cos \omega d\omega +\sin \omega d\theta ,\quad d(\theta \cos \omega )=-\theta \sin \omega d\omega +\cos \omega d\theta ,$

il s’ensuit que, si l’on prend la différence et la somme des deux équations ci-dessus, après les avoir multipliées respectivement par $\cos \omega$ et $\sin \omega$ dans le premier cas, et par $\sin \omega$ et $\cos \omega$ dans le second cas, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\theta d\omega }{dt}}=&-(0,1)\left[\theta -\theta _{1}\cos(\omega -\omega _{1})\right]-(0,2)\left[\theta -\theta _{2}\cos(\omega -\omega _{2})\right],\\{\frac {d\theta }{dt}}\ \ =&\quad \ (0,1)\theta _{1}\sin(\omega -\omega _{1})+(0,2)\theta _{2}\sin(\omega -\omega _{2})\,;\end{aligned}}$

et l’on aura des équations semblables pour les valeurs de $d\omega _{1},d\theta _{1},\ldots .$

Ces équations sont surtout utiles pour déterminer les changements instantanés dans les lieux des nœuds et dans les inclinaisons de plusieurs orbites mobiles les unes sur les autres ; mais elles seraient fort difficiles à intégrer sous cette forme.

24. Au reste on doit se ressouvenir que les équations précédentes sont fondées sur l’hypothèse que les inclinaisons des orbites à l’éclip-