Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/658

tions faites, on aura ces équations de condition

${\begin{aligned}a\mathrm {A} \ \ +(0,1)(\mathrm {A\ \ -A_{1}} )+(0,2)(\mathrm {A\ \ -A_{2}} )+\ldots =0,\\a\mathrm {A} _{1}+(1,0)(\mathrm {A_{1}-A\ \ } )+(1,2)(\mathrm {A_{1}-A_{2}} )+\ldots =0,\\a\mathrm {A} _{2}+(2,0)(\mathrm {A_{2}-A\ \ } )+(2,1)(\mathrm {A_{2}-A_{1}} )+\ldots =0,\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

dont le nombre est égal à celui des quantités $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots ,$ et n’est par conséquent que la moitié de celui des équations différentielles, en sorte qu’il est égal au nombre des orbites mobiles.

Supposons que ce nombre soit $n\,;$ on aura donc $n$ constantes indéterminées $\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots ,$ et $n$ équations entre ces constantes ; mais, en éliminant successivement ces mêmes constantes, on verra toujours que la dernière s’en ira d’elle-même, en sorte qu’il en restera nécessairement une d’indéterminée ; et l’on trouvera pour équation finale une équation en $a$ du degré $n$^ième, laquelle servira par conséquent à déterminer la constante $a$.

Il restera donc deux constantes indéterminées $\mathrm {A} ,$ par exemple, et $\alpha \,;$ et, comme l’équation qui doit donner $a$ est du $n$^ième degré, on en pourra tirer $n$ valeurs différentes de $a\,;$ moyennant quoi on aura $n$ valeurs particulières de chacune des $2n$ variables $s,s_{1},s_{2},\ldots ,u,u_{1},u_{2},\ldots ,$ lesquelles satisferont toutes également aux équations différentielles données et il est facile de voir, par la nature même de ces équations, que, pour avoir la valeur complète de chacune des variables dont il s’agit, il n’y aura qu’à prendre la somme des $n$ valeurs particulières de la même variable, en donnant différentes valeurs aux constantes arbitraires.

Si donc on dénote par $a,b,c,\ldots$, les $n$ racines de l’équation en $a,$ et qu’on prenne $n$ coefficients arbitraires $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ et autant d’angles arbitraires $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}s\ \ =&\mathrm {A} \ \ \sin(at+\alpha )+\mathrm {B} \ \ \sin(bt+\beta )+\mathrm {C} \ \ \sin(ct+\gamma )+\ldots ,\\s_{1}=&\mathrm {A} _{1}\sin(at+\alpha )+\mathrm {B} _{1}\sin(bt+\beta )+\mathrm {C} _{1}\sin(ct+\gamma )+\ldots ,\\s_{2}=&\mathrm {A} _{2}\sin(at+\alpha )+\mathrm {B} _{2}\sin(bt+\beta )+\mathrm {C} _{2}\sin(ct+\gamma )+\ldots ,\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$