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${\begin{aligned}u\ \ =&\mathrm {A} \ \ \cos(at+\alpha )+\mathrm {B} \ \ \cos(bt+\beta )+\mathrm {C} \ \ \cos(ct+\gamma )+\ldots ,\\u_{1}=&\mathrm {A} _{1}\cos(at+\alpha )+\mathrm {B} _{1}\cos(bt+\beta )+\mathrm {C} _{1}\cos(ct+\gamma )+\ldots ,\\u_{2}=&\mathrm {A} _{2}\cos(at+\alpha )+\mathrm {B} _{2}\cos(bt+\beta )+\mathrm {C} _{2}\cos(ct+\gamma )+\ldots ,\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

les quantités $\mathrm {B_{1},B_{2}} ,\ldots$ devant être données par $\mathrm {B}$ et $b,$ et les quantités $\mathrm {C_{1},C_{2}} ,\ldots$ devant l’être par $\mathrm {C}$ et $c,$ et ainsi des autres, de la même manière et par les mêmes équations que les quantités $\mathrm {A_{1},A_{2}} ,\ldots$ le sont par $\mathrm {A}$ et $a.$

26. Pour déterminer maintenant les $2n$ constantes arbitraires $\mathrm {A,B} ,$ $\mathrm {C} ,\ldots ,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il faudra supposer que l’on connaisse les valeurs des $2n$ variables $s,s_{1},s_{2},\ldots ,u,u_{1},u_{2},\ldots$ pour une époque quelconque, par exemple, lorsque $t=0,$ et, désignant ces valeurs données par $\mathrm {S,S_{1}} ,$ $\mathrm {S_{2},\ldots ,U,U_{1},U_{2}} ,\ldots ,$ on aura les équations

${\begin{aligned}\mathrm {S} \ \ =&\mathrm {A\ \ \sin \alpha +B\ \ \sin \beta +C} \ \ \sin \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} _{1}=&\mathrm {A_{1}\sin \alpha +B_{1}\sin \beta +C_{1}} \sin \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} _{2}=&\mathrm {A_{2}\sin \alpha +B_{2}\sin \beta +C_{2}} \sin \gamma +\ldots ,\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

${\begin{aligned}\mathrm {U} \ \ =&\mathrm {A\ \ \cos \alpha +B\ \ \cos \beta +C} \ \ \cos \gamma +\ldots ,\\\mathrm {U} _{1}=&\mathrm {A_{1}\cos \alpha +B_{1}\cos \beta +C_{1}} \cos \gamma +\ldots ,\\\mathrm {U} _{2}=&\mathrm {A_{2}\cos \alpha +B_{2}\cos \beta +C_{2}} \cos \gamma +\ldots ,\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

lesquelles, étant aussi au nombre de $2n,$ serviront à déterminer toutes les constantes dont il s’agit.

Quoique cette détermination soit toujours facile dans les cas particuliers, au moyen des règles connues de l’élimination, cependant, si l’on voulait traiter la question, en général, pour un nombre quelconque d’orbites mobiles, on tomberait nécessairement dans des formules trèscompliquées et dont la loi serait difficile à apercevoir ; c’est pourquoi