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j’ai cru devoir chercher une méthode particulière pour remplir cet objet, et je me flatte que celle que je vais donner pourra mériter l’attention des Géomètres, tant par sa simplicité et sa généralité que par l’utilité dont elle pourra être dans plusieurs autres occasions.

27. Considérons les $n$ équations

${\begin{aligned}\mathrm {S} \ \ =&\mathrm {A\ \ \sin \alpha +B\ \ \sin \beta +C} \ \ \sin \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} _{1}=&\mathrm {A_{1}\sin \alpha +B_{1}\sin \beta +C_{1}} \sin \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} _{2}=&\mathrm {A_{2}\sin \alpha +B_{2}\sin \beta +C_{2}} \sin \gamma +\ldots ,\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

Il est visible que toutes les opérations qu’on fera sur celles-ci pourront s’appliquer aussi aux autres équations, en changeant seulement les quantités $\mathrm {S,S_{1},S_{2}} ,\ldots$ en $\mathrm {U,U_{1},U_{2}} ,\ldots$ et $\sin \alpha ,\sin \beta ,\sin \gamma ,\ldots$ en $\cos \alpha ,$ $\cos \beta ,$ $\cos \gamma ,\ldots .$

On formera d’abord les quantités suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {S} ^{(1)}=&-(0,1)(\mathrm {S\ \ -S_{1}} )-(0,2)(\mathrm {S\ \ -S_{2}} )-\ldots ,\\\mathrm {S} _{1}^{(1)}=&-(1,0)(\mathrm {S_{1}-S\ \ } )-(1,2)(\mathrm {S_{1}-S_{2}} )-\ldots ,\\\mathrm {S} _{2}^{(1)}=&-(2,0)(\mathrm {S_{2}-S\ \ } )-(2,1)(\mathrm {S_{2}-S_{1}} )-\ldots ,\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

dont la forme est, comme l’on voit, analogue à celle des équations différentielles proposées (16) ; il est aisé de prouver, en substituant les valeurs ci-dessus de $\mathrm {S,S_{1},S_{2}} ,\ldots$ et ayant égard aux équations de condition du n^o 25, lesquelles doivent avoir lieu également entre les quantités $a,\mathrm {A,A_{1},A_{2}} ,\ldots ,$ $b,\mathrm {B,B_{1},B_{2}} ,\ldots ,c,\mathrm {C,C_{1},C_{2}} ,\ldots ,$ il est aisé de prouver, dis-je, qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {S} ^{(1)}=&a\mathrm {A} \ \ \sin \alpha +b\mathrm {B} \ \ \sin \beta +c\mathrm {C} \ \ \sin \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} _{1}^{(1)}=&a\mathrm {A} _{1}\sin \alpha +b\mathrm {B} _{1}\sin \beta +c\mathrm {C} _{1}\sin \gamma +\ldots ,\\\mathrm {S} _{2}^{(1)}=&a\mathrm {A} _{2}\sin \alpha +b\mathrm {B} _{2}\sin \beta +c\mathrm {C} _{2}\sin \gamma +\ldots ,\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$