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à cette racine $a=0,$ sont toutes égales entre elles. Par conséquent les expressions de $s,s_{1},s_{2},\ldots ,u,u_{1},u_{2},\ldots$ deviendront

${\begin{aligned}s\ \ =&\mathrm {A} \ \ \sin \alpha +\mathrm {B} \,\ \sin(bt+\beta )+\mathrm {C} \,\ \sin(ct+\gamma )+\ldots ,\\s_{1}=&\mathrm {A} _{1}\sin \alpha +\mathrm {B} _{1}\sin(bt+\beta )+\mathrm {C} _{1}\sin(ct+\gamma )+\ldots ,\\s_{2}=&\mathrm {A} _{2}\sin \alpha +\mathrm {B} _{2}\sin(bt+\beta )+\mathrm {C} _{2}\sin(ct+\gamma )+\ldots ,\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

${\begin{aligned}u\ \ =&\mathrm {A} \ \ \cos \alpha +\mathrm {B} \,\ \cos(bt+\beta )+\mathrm {C} \,\ \cos(ct+\gamma )+\ldots ,\\u_{1}=&\mathrm {A} _{1}\cos \alpha +\mathrm {B} _{1}\cos(bt+\beta )+\mathrm {C} _{1}\cos(ct+\gamma )+\ldots ,\\u_{2}=&\mathrm {A} _{2}\cos \alpha +\mathrm {B} _{2}\cos(bt+\beta )+\mathrm {C} _{2}\cos(ct+\gamma )+\ldots ,\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

dans lesquelles $b,c,\ldots$ seront les racines des équations ci-dessus en $x,$ après qu’elles auront été rabaissées par la division par $x$.

Ainsi, dans le cas de deux orbites mobiles, la quantité $b$ sera donnée par l’équation du premier degré

$x+(0,1)+(1,0)=0.$

Dans le cas de trois orbites mobiles, les quantités $b$ et $c$ seront données par l’équation du second degré

${\begin{aligned}x^{2}&+\left[(0,1)+(0,2)+(1,0)+(1,2)+(2,0)+(2,1)\right]x\\&+(0,1)(1,2)+(0,2)(1,0)+(0,2)(1,2)+(0,1)(2,0)\\&+(0,1)(2,1)+(0,2)(2,1)+(1,0)(2,0)+(1,0)(2,1)+(1,2)(2,0)=0,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

31. Avant de terminer cet Article, nous devons encore remarquer que, quoique nous ayons sapposé que toutes les racines $a,b,c,\ldots$ de l’équation en $x$ soient réelles et inégales, il peut néanmoins arriver qu’il y en ait d’égales ou d’imaginaires ; mais il est facile de résoudre ces cas par les méthodes connues nous observerons seulement que, dans le cas des racines égales, les valeurs de $s,s_{1},s_{2},\ldots ,u,u_{1},u_{2},\ldots$ contiendront des arcs de cercle, et que dans celui des racines imaginaires ces valeurs contiendront des exponentielles ordinaires ; de sorte que, dans l’un et l’autre cas, les quantités dont il s’agit croîtront à mesure que $t$ croît ; par