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conséquent la solution précédente cessera d’être exacte au bout d’un certain temps (23) ; mais heureusement ces cas ne paraissent pas avoir lieu dans le Système du monde^[1].

Article V. — Remarques sur les mouvements des nœuds et les variations des inclinaison qui résultent des formules trouvées dans l’Article précédent.

32. Puisque

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {s}{u}}\quad {\text{et}}\quad \theta ={\sqrt {s^{2}+u^{2}}},$

par le n^o 8 on aura, en substituant les valeurs de $s$ et de $u$ (30),

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {\mathrm {A} \sin \alpha +\mathrm {B} \sin(bt+\beta )+\mathrm {C} \sin(ct+\gamma )+\ldots }{\mathrm {A} \cos \alpha +\mathrm {B} \cos(bt+\beta )+\mathrm {C} \cos(ct+\gamma )+\ldots }},$

$\theta ={\sqrt {\begin{aligned}&\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} +\ldots +2\mathrm {AB} \cos(bt+\beta -\alpha )\\&+2\mathrm {AC} \cos(ct+\gamma -\alpha )+\ldots +2\mathrm {BC} \cos \left[(b-c)t+\beta -\gamma \right]+\ldots \end{aligned}}}$

par la première de ces équations, on connaîtra donc la longitude $\omega$ du nœud de l’orbite de la planète $\mathrm {T} ,$ rapportée à l’écliptique ou au plan fixe qui en tient lieu, et par la seconde on aura la tangente $\theta$ de l’inclinaison de la même orbite.

On aura des formules semblables pour le lieu du nœud et la tangente de l’inclinaison de l’orbite de chacune des autres planètes $\mathrm {T_{1},T_{2}} ,\ldots \,;$ il n’y aura qu’à marquer les lettres $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de l’indice $1,$ ou $2,$ ou ….

33. Si l’on voulait déterminer directement la longitude $\omega$ du nœud, il n’y aurait qu’à substituer la valeur de $\operatorname {tang} \omega$ dans l’équation

$d\omega ={\frac {d\operatorname {tang} \omega }{1+\operatorname {tang} ^{2}\omega }},$

ce qui donnerait, après les réductions, cette équation différentielle

${\frac {d\omega }{dt}}={\frac {\left[{\begin{aligned}&\mathrm {bB^{2}+cC^{2}} +\ldots +b\mathrm {AB} \cos(bt+\beta -\alpha )+c\mathrm {AC} \cos(ct+\gamma -\alpha )+\ldots \\&\quad +(b+c)\mathrm {BC} \cos \left[(b-c)t+\beta -\gamma \right]+\ldots \end{aligned}}\right]}{\left[{\begin{aligned}&\left(\mathrm {A^{2}+B^{2}+C^{2}} +\ldots \right)+2\mathrm {AB} \cos(bt+\beta -\alpha )\\&\quad +2\mathrm {AC} \cos(ct+\gamma -\alpha )+\ldots +2\mathrm {BC} \cos \left[(b-c)t+\beta -\gamma \right]+\ldots \end{aligned}}\right]}}$

1. Il convient de rappeler ici que les résultats qui précèdent ont été reproduits avec des développements étendus dans la Théorie des variations séculaires des éléments des planètes insérée dans les Mémoires de l’Académie de Berlin, année 1761. Voir le tome V des Œuvres de Lagnange, p. 125. $\qquad \qquad \qquad \qquad$ (Note de l’Éditeur.)