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De sorte qu’il n’y aura plus qu’à substituer ces valeurs dans les expressions ci-dessus de $s,u,s_{1},u_{1}\,;$ car, connaissant les valeurs de ces quantités pour un temps quelconque, on trouvera aisément les longitudes $\omega$ et $\omega _{1}$ des nœuds de Jupiter et de Saturne, ainsi que les inclinaisons de leurs orbites, dont $\theta$ et $\theta _{1}$ sont les tangentes, et cela par le moyen des formules

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {tang} \omega \ \ =&{\frac {s}{u}},&\theta \ \ ={\sqrt {s^{2}+u^{2}}},\\\operatorname {tang} \omega _{1}=&{\frac {s_{1}}{u_{1}}},\qquad &\theta _{1}={\sqrt {s_{1}^{2}+u_{1}^{2}}}.\end{alignedat}}$

43. Comme

${\begin{aligned}\sin(\beta +bt)=&\sin \,\beta \cos bt+\cos \beta \sin bt,\\\cos(\beta +bt)=&\cos \beta \cos bt-\sin \beta \sin bt,\end{aligned}}$

on pourra mettre les valeurs de $s,u,s_{1},u_{1}$ sous la forme suivante, qui est en quelque façon plus commode, tant que $bt$ est un petit angle.

Pour Jupiter,

${\begin{aligned}s\,=&\,\quad 0{,}028127-0{,}005344\cos(25''{,}337t)-0{,}003802\sin(25''{,}337t),\\u=&-0{,}007180+0{,}003802\cos(25''{,}337t)-0{,}005344\sin(25''{,}337t).\end{aligned}}$

Pour Saturne,

${\begin{aligned}s_{1}=\quad 0{,}028127+0{,}012557\cos(25''{,}337t)+0{,}008932\sin(25''{,}337t),\\u_{1}=-0{,}007180-0{,}008932\cos(25''{,}337t)+0{,}012557\sin(25''{,}337t).\end{aligned}}$

Il faut se souvenir que les années dont le nombre est marqué par $t$ sont des années tropiques, dont la durée est de

$365^{\text{j}}5^{\text{h}}48^{\text{m}}45^{\text{s}},$

et qu’elles doivent être comptées depuis le 1^er janvier 1760 à midi moyen, à cause que cette année est bissextile.

On doit remarquer de plus que les longitudes $\omega$ et $\omega _{1}$ doivent toujours se compter depuis le lieu de l’équinoxe de 1760, en sorte que, pour avoir les vraies longitudes des nœuds des orbites de Jupiter et de Sa-