Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/70

parallèle au rayon vecteur et égale à ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$ l’autre perpendiculaire au plan de l’orbite de Jupiter et égale à ${\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Or on peut, en général, réduire les forces perturbatrices du satellite à trois forces uniques, dont :

La première, que j’appelle $\mathrm {R} ,$ soit parallèle au rayon $r\,;$

La seconde, que j’appelle $\mathrm {Q} ,$ soit perpendiculaire au rayon vecteur, et parallèle au plan de l’orbite de Jupiter ;

La troisième, que j’appelle $\mathrm {P} ,$ soit perpendiculaire à ce même plan.

Donc le satellite sera sollicité, dans les directions dont nous parlons, par les forces

${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} ,\quad \mathrm {Q} ,\quad {\frac {\mathrm {F} p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} \,;$

dont les deux premières déterminent le mouvement que le satellite doit avoir dans le plan de l’orbite de Jupiter, ou pour mieux dire, parallèlement à ce plan.

II.

Cela posé, soient

$t\quad$ le temps écoulé depuis le commencement du mouvement ;

$\varphi \quad$l’angle décrit par le rayon $r$ durant ce temps ; l’élément du temps $dt$ constant, c’est-à-dire, $d\,dt=0.$

On aura pour la vitssse circulatoire du satellite, parallèlement au plan de l’orbite de Jupiter, ${\frac {rd\varphi }{dt}},$ d’où résulte la force centrifuge ${\frac {r^{2}d\varphi ^{2}}{rdt^{2}}}={\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}},$ laquelle étant retranchée de la force ${\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} ,$ on aura la véritable force qui tend à diminuer le rayon $r$.

Donc, par le principe des forces accélératrices, on aura

(A)

$-{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {F} }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {R} -{\frac {rd\varphi ^{2}}{dt^{2}}}.$