En effet, en considérant sous un nouveau point de vue la variation des constantes arbitraires qui naîtraient de l’intégration des équations différentielles lorsqu’on n’y tient compte que de l’action du Soleil et qu’on néglige celle des planètes perturbatrices, j’ai obtenu des formules qui donnent les différentielles de ces variations sous une forme plus simple que celle des formules connues jusqu’à présent, parce qu’elles ont l’avantage de ne contenir que les différences partielles d’une même fonction du temps et des constantes arbitraires, prises par rapport à chacune de ces constantes, et multipliées par de simples fonctions de ces constantes ; de sorte que la fonction dont il s’agit étant développée, comme elle peut toujours l’être, tant que l’orbite est elliptique, en une série de sinus et cosinus d’angles proportionnels au temps, le terme indépendant du temps donnera sur-le-champ les équations des variations séculaires aussi exactes qu’on voudra par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons, au lieu que jusqu’ici elles étaient bornées aux premières dimensions de ces éléments. Ces formules ont de plus l’avantage que, étant appliquées aux variations du grand axe, on en voit naître tout de suite des expressions analogues à celles auxquelles M. Poisson n’est parvenu que par des réductions heureuses des formules déduites de la considération du mouvement elliptique.
De cette manière on démontre dans toute la généralité possible, et quelle que soit l’inclinaison de l’orbite primitive sur le plan fixe, que la variation du grand axe ne peut contenir aucun terme non périodique ni dans la première ni dans la seconde approximation, du moins en tant qu’on n’a égard dans celle-ci qu’aux variations des éléments de l’orbite troublée. Ce qui empêche que la même Analyse ne s’étende également aux termes provenant des variations des éléments des planètes perturbatrices, c’est que la fonction, dont la différence partielle relative aux coordonnées de l’orbite troublée donne la variation du grand axe, n’est pas la même pour les planètes perturbatrices, parce qu’elle n’est pas symétrique par rapport aux coordonnées de toutes les planètes ; c’est aussi ce qui a lieu dans l’Analyse de M. Poisson, qui dépend de la même fonction.
