Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/722

travail et le mien, conduisant au même but par des chemins différents, peuvent servir également à l’avancement de l’Analyse et de l’Astronomie physique.

Formules générales pour la variation des éléments des planètes.

1. Je prends la masse du Soleil pour l’unité, et je désigne par $m,m',$ $m'',\ldots$ les masses des différentes planètes. Ces quantités seront des fractions très-petites, et l’on pourra distinguer en différents ordres de petitesses les termes qui contiendront ces quantités à la première, ou à la deuxième, ou à la troisième, … dimension.

Je rapporte d’abord le mouvement des planètes au centre du Soleil par les coordonnées rectangles $x,y,z$ pour la planète $m\,;$ $x',y',z'$ pour la planète $m'\,;$ $x'',y'',z''$ pour la planète $m'',$ etc., et je fais, pour abréger,

${\begin{aligned}r\ \ &={\sqrt {x^{2}\ \ +y^{2}\ \ +z^{2}}},\\r'\ &={\sqrt {x'^{2}\ +y'^{2}\ +z'^{2}}},\\r''&={\sqrt {x''^{2}+y''^{2}+z''^{2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\Omega &=m'\left[{\frac {1}{(x-x'\ )^{2}+(y-y'\ )^{2}+(z-z')^{2}}}-{\frac {xx'\ +yy'\ +zz'\,}{r'^{3}}}\right]\\&+m''\left[{\frac {1}{(x-x'')^{2}+(y-y'')^{2}+(z-z'')^{2}}}-{\frac {xx''+yy''+zz''}{r''^{3}}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

J’ai pour la planète $m$ les équations suivantes, dans lesquelles $t$ est le temps et où $dt$ est constant,

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{3}}}x={\frac {d\Omega }{dx}},\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{3}}}y\,={\frac {d\Omega }{dy}},\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{3}}}z\ ={\frac {d\Omega }{dz}},\\\end{aligned}}$