Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/723

Car, si l’on forme les différences partielles de la fonction $\theta$ suivant les variables $x,y,z,$ on a les expressions des forces dues à l’attraction des planètes $m',m'',\ldots ,$ décomposées suivant les coordonnées $x,y,z.$

On aura de pareilles équations pour la planète $m',$ en changeant $m$ en $m',$ et $x,y,z$ en $x',y',z',$ et réciproquement ; mais alors la fonction changera, et pourra être désignée par et ainsi pour les autres plahètes. Je crois avoir employé le premier les équations des planètes sous cette forme très-simple, qui est maintenant généralement adoptée.

2. Comme l’effet de l’action des planètes perturbatrices est contenu dans la fonction $\Omega ,$ en rejetant les termes qui en dépendent, on a, pour le mouvement de la planète $m,$ en tant qu’elle n’est attirée que par le Soleil, les trois équations

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{3}}}x={\frac {d\Omega }{dx}},\\&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{3}}}y\,={\frac {d\Omega }{dy}},\\&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r^{3}}}z\ ={\frac {d\Omega }{dz}}.\end{aligned}}$

Les intégrales de ces équations sont assez connues, et donnent une ellipse décrite suivant les lois de Képler ; mais nous n’en avons pas besoin ici, et il suffit pour notre objet de faire les remarques suivantes

1^o Que les valeurs des coordonnées sont des fonctions du temps et des six constantes arbitraires introduites par les six intégrations, et que nous désignerons par $a,b,c,f,g,h.$ Elles déterminent la grandeur et la position de l’ellipse sur le plan de projection, ainsi que le lieu de la planète dans un instant donné, et on les nomme en Astronomie éléments de la planète ;

3^o Que, si l’on dénote par $2a$ le grand axe de l’orbite elliptique de la planète $m,$ en sorte que $a$ soit la distance moyenne, son mouvement moyen, qui est proportionnel au temps, sera exprimé par $nt,$ en faisant

$n={\sqrt {\frac {1+m}{a^{3}}}},$