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et que les coordonnées $x,y,z$ pourront être exprimées en séries de sinus et cosinus d’angles multiples de $nt,$ dont les coefficients seront des fonctions données des éléments $a,b,\ldots .$

3. Considérons maintenant les perturbations dues à l’action des autres planètes, qui introduit dans les équations les termes dépendant de la fonction \Omega. Pour avoir égard à ces termes, la méthode la plus simple est celle de la variation des constantes arbitraires que j’ai employée depuis longtemps ; suivant les principes de cette méthode, que j’ai exposée d’une manière générale dans les Mémoires de l’Académie de Berlin de 1775, page 190^[1], comme les équations différentielles auxquelles il s’agit de satisfaire sont du second ordre, on conservera les expressions elliptiques des coordonnées $x,y,z,$ ainsi que celles des différentielles ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ mais en y regardant les constantes $a,b,c,\ldots$ comme variables, et l’on vérifiera les équations par la variation de ces constantes dans les différentielles secondes.

Désignons pour un moment par la caractéristique $\delta$ les différentielles provenant de la variation des constantes, tandis que la caractéristique ordinaire $d$ se rapporte à la variation de $t.$ La différence première de $x$ aura pour valeur complète, en faisant tout varier, $dx+\delta x\,;$ donc, supposant $\delta x=0,$ elle sera simplement $dx\,;$ ainsi la valeur complète de la différence seconde de $x$ sera $d\,dx+\delta dx\,;$ mais la partie $d\,dx$ satisfait à l’équation en $x$ sans le terme ${\frac {d\Omega }{dx}}$ qui en forme le second membre, quelles que soient les valeurs des constantes, puisque l’équation se vérifie identiquement ; donc l’autre partie doit vérifier le reste de l’équation. Ainsi l’on aura

${\frac {\delta dx}{dt^{2}}}={\frac {d\Omega }{dx}},$

de sorte que, relativement à l’équation en $x,$ on aura par la variation

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 159 et suiv.