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nombres entiers ; ces sinus ou cosinus ayant pour coefficients des fonctions des éléments $a,b,c,f,g,h,a',b',c',\ldots .$

La première approximation consiste à regarder dans la fonction $\Omega$ tous ces éléments comme constants ; alors un terme quelconque de cette fonction sera de la forme

$I\times {\begin{aligned}&\sin \\&\cos \end{aligned}}\left(int+i'n't+i''n''t+\ldots \right),$

le coefficient $I$ étant une quantité constante.

Comme dans la différence partielle ${\frac {d\Omega }{ndt}},$ il ne faut différentier que par rapport au terme $nt,$ où $t$ est affecté de $n,$ on voit que le terme dont il s’agit donnera dans la valeur de $da$ le terme

${\frac {2a^{2}Iin}{2+m}}\times {\begin{aligned}&+\cos \\&-\sin \end{aligned}}\left(int+i'n't+i''n''t+\ldots \right),$

et par conséquent dans la valeur de $a$ le terme

${\frac {2ina^{2}I}{(1+m)\left(int+i'n't+i''n''t+\ldots \right)}}\times {\begin{aligned}&\sin \\&\cos \end{aligned}}\left(int+i'n't+i''n''t+\ldots \right)\,;$

d’où l’on voit qu’il ne peut jamais en résulter des termes proportionnels à $t,$ à moins que l’on ait

$in+i'n'+i''n''+\ldots =0,$

ce qui est à peu près impossible, vu l’incommensurabilité des coefficients $n,n',n'',\ldots ,$ dans notre Système planétaire.

C’est ainsi que j’avais démontré, dans mon Mémoire de 1776, ce Théorème important, que les grands axes des planètes ne peuvent être sujets qu’à des variations périodiques, et non à des variations croissant comme le temps^[1]. Mais ce Théorème ne pouvait encore être regardé comme exact qu’en se bornant à la première approximation, dans laquelle on fait abstraction des perturbations qui font varier tous les éléments $a,b,c,f,g,h,a',b',c',\ldots .$

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 255.