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Seconde approximation.

10. Dans cette seconde approximation, nous aurons égard à la variation des éléments qui entrent dans la fonction $\Omega \,;$ et, comme ces variations sont fort petites parce qu’elles dépendent elles-mêmes des différences partielles des fonctions $\Omega ,\Omega ',\ldots ,$ dont tous les termes sont multipliés par les masses $m,$ $m',m'',\ldots$ qui sont des fractions très-petites, on simplifiera le calcul en décomposant chaque élément en une partie constante et une partie variable très-petite, qu’on pourra dénoter par la caractéristique $\Delta ,$ et traiter comme on traite toutes les différences finies. De cette manière les éléments $a,a',a'',\ldots ,$ $b,b',b'',\ldots ,c,c',c'',\ldots$ deviendront $a+\Delta a,a'+\Delta a',a''+\Delta a'',\ldots ,$ $b+\Delta b,$ $b'+\Delta b',b''+\Delta b'',\ldots ,\ c+\Delta c,c'+\Delta c',c''+\Delta c'',\ldots ,$ où $a,$ $a',a'',\ldots ,b,b',b'',\ldots \ c,c',c'',\ldots$ seront dorénavant des quantités constantes, et $\Delta a,\Delta a',\Delta a'',\ldots ,\ \Delta b,\Delta b',\Delta b'',\ldots$ seront les seules variables ; par conséquent les différentielles des éléments $da,da',da'',\ldots ,$ $db,db',db'',\ldots$ deviendront simplement $d\Delta a,d\Delta a',d\Delta a'',\ldots ,d\Delta b,d\Delta b',$ $d\Delta b'',\ldots .$

En faisant ces substitutions, et développant ensuite par la méthode connue suivant les puissances et les produits des différences $\Delta a,\Delta a',\ldots ,$ $\Delta b,\Delta b',\ldots$ la fonction $\Omega$ deviendra $\Omega +\Delta \Omega +{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}\Omega +\ldots ,$ et l’on aura

${\begin{aligned}\Delta \Omega &={\frac {d\Omega }{da}}\Delta a\ +{\frac {d\Omega }{db}}\Delta b\ +{\frac {d\Omega }{dc}}\Delta c\,\ +{\frac {d\Omega }{df}}\Delta f\,\ +{\frac {d\Omega }{dg}}\Delta g\,\ +{\frac {d\Omega }{dh}}\Delta h\\&+{\frac {d\Omega }{da'}}\Delta a'+{\frac {d\Omega }{db'}}\Delta b'+{\frac {d\Omega }{dc'}}\Delta c'+{\frac {d\Omega }{df'}}\Delta f'+{\frac {d\Omega }{dg'}}\Delta g'+{\frac {d\Omega }{dh'}}\Delta h'\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\Delta ^{2}\Omega &={\frac {d^{2}\Omega }{da^{2}}}\Delta a^{2}\ +2{\frac {d^{2}\Omega }{dadb}}\Delta a\Delta b+2{\frac {d^{2}\Omega }{dadc}}\Delta a\Delta c+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et la formule de la variation du grand axe deviendra

$d\Delta a={\frac {2(a+\Delta a)^{2}}{1+m}}\left({\frac {d\Omega }{ndt}}+{\frac {d\Delta \Omega }{ndt}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\Delta ^{2}\Omega }{ndt}}+\ldots \right)ndt.$