Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/740

Dans ces formules la fonction $\Omega$ et ses différences partielles ne contiendront plus que $t$ de variable, et les différences partielles relatives à $t$ ne devront être prises qu’en faisant varier dans \Omega le $t$ qui est affecté du coefficients $n$.

Le premier terme ${\frac {d\Omega }{ndt}}$ est celui que nous avons considéré dans la première approximation. Dans celle-ci nous allons considérer le terme suivant ${\frac {d\Delta \Omega }{ndt}},$ dans lequel $\Delta \Omega$ ne contient que les premières dimensions des différences $\Delta a,\Delta b,\ldots ,\Delta a',\Delta b',\ldots .$

11. Je vais commencer par la partie $\Delta \Omega$ qui ne renferme que les différences $\Delta a,\Delta b,\ldots$ des éléments de la planète $m.$ Cette partie est composée des termes suivants

${\frac {d\Omega }{da}}\Delta a+{\frac {d\Omega }{db}}\Delta b+{\frac {d\Omega }{dc}}\Delta c+{\frac {d\Omega }{df}}\Delta f+{\frac {d\Omega }{dg}}\Delta g+{\frac {d\Omega }{dh}}\Delta h.$

Comme les différentielles $da,db,\ldots$ sont remplacées par celles de $\Delta a,$ $\Delta b,$ il résulte de ce que nous avons démontré plus haut (7) que chacune de ces différentielles sera de la forme

$\left(\mathrm {A} {\frac {d\Omega }{da}}+\mathrm {B} {\frac {d\Omega }{db}}+\mathrm {C} {\frac {d\Omega }{dc}}+\mathrm {F} {\frac {d\Omega }{df}}+\mathrm {G} {\frac {d\Omega }{dg}}+\mathrm {H} {\frac {d\Omega }{dh}}\right)dt,$

dans laquelle $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont de simples fonctions des éléments sans $t$. Il faudrait donc substituer dans ces fonctions, ainsi que dans $\Omega ,$ $a+\Delta a,$ $b+\Delta b,\ldots ,a'+\Delta a',b'+\Delta b',\ldots$ au lieu de $a,b,\ldots ,a',b',\ldots \,;$ mais cette substitution appartiendrait à l’approximation suivante ; ainsi on pourra ici regarder les quantités $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ comme simplement constantes, et la fonction $\Omega$ comme simple fonction de $nt,n't,n''t,\ldots .$ Par ce moyen il n’y aura de variable que la fonction $\Omega ,$ et les valeurs des différences $\Delta a,\Delta b,\Delta c,\ldots$ seront de la forme

$\mathrm {A} \int {\frac {d\Omega }{da}}dt+\mathrm {B} \int {\frac {d\Omega }{db}}dt+\mathrm {C} \int {\frac {d\Omega }{dc}}dt+\mathrm {F} \int {\frac {d\Omega }{df}}dt+\mathrm {G} \int {\frac {d\Omega }{dg}}dt+\mathrm {H} \int {\frac {d\Omega }{dh}}dt,$

qu’il faudra substituer dans la formule précédente.