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$p,q,r$ étant les vitesses de rotation autour de trois axes perpendiculaires entre eux, et $\mathrm {A,B,C,F,G,H}$ étant des constantes dépendantes de la figure du corps et de la position des trois axes ; et, si l’on nomme $\rho$ la vitesse de rotation autour de l’axe instantané de rotation, et $\lambda ,\mu ,\nu$ les angles que cet axe fait avec les trois axes des rotations $p,q,r,$ on a [Section citée, Article 45^[1]]

$p=\rho \cos \lambda ,\quad q=\rho \cos \mu ,\quad r=\rho \cos \nu .$

La force vive $2\mathrm {T}$ sera ainsi

$\mathrm {\left(A\cos ^{2}\lambda +B\cos ^{2}\mu +C\cos ^{2}\nu -2F\cos \mu \cos \nu -2G\cos \lambda \cos \nu -2H\cos \lambda \cos \mu \right)\rho ^{2}} .$

Donc, s’il y a des forces perturbatrices, la valeur de $\rho$ ne pourra jamais être sujette à une variation croissante comme le temps, en ayant même égard aux secondes dimensions des forces perturbatrices.

Ce résultat s’applique naturellement à la rotation de la Terre et des planètes, en tant qu’elle peut être altérée par l’attraction des autres planètes.

34. Je dois ajouter, relativement à l’analyse du n^o 25, qu’on peut la rendre rigoureuse en formant d’abord l’équation

${\begin{alignedat}{2}&\Delta r\left(d\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt\right)&&-\delta r\left(d\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}dt\right)\\+&\Delta s\left(d\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt\right)&&-\delta s\left(d\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}dt\right)\\+&\Delta u\left(d\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt\right)&&-\delta u\left(d\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}dt\right)=0,\end{alignedat}}$

qui se transforme aisément en celle-ci

${\begin{aligned}d&\left(\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}-\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}-\delta s\Delta \ \,{\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}-\delta u\Delta \ {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)\\-&\left(\Delta r\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\Delta s\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\Delta u\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\Delta r'\delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\Delta s'\delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\Delta u'\delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)dt\\+&\left(\delta r\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr}}+\delta s\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds}}+\delta u\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du}}+\delta r'\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{dr'}}+\delta s'\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{ds'}}+\delta u'\Delta {\frac {d\mathrm {R} }{du'}}\right)dt=0.\end{aligned}}$

1. Dans la deuxième Édition, seconde Partie, Section IX, n^o 29.$\quad$(Note de l’Éditeur.)