M. de Laplace et moi en donnâmes de plus générales et plus simples, que nous parvînmes ensuite à réduire au plus grand degré de simplicité.
Enfin je viens de donner dans un Mémoire lu à cette Classe le 13 mars 1809, et imprimé dans le volume des Mémoires de 1808[1], une Théorie complète de la variation des constantes arbitraires dans tous les Problèmes de la Mécanique. J’étais parvenu d’abord, par une analyse assez compliquée, à un résultat simple et inespéré ; j’ai ensuite trouvé moyen d’arriver directement et par un calcul très-court à ce même résultat, comme on le voit dans l’Addition et dans le Supplément au Mémoire, cité, imprimés dans le même volume. Mais l’application des formules générales aux Problèmes particuliers démandait encore un long calcul, à cause des éliminations qu’il fallait faire pour obtenir séparément l’expression de la variation de chacune des constantes devenues variables. Heureusement une considération très-simple, que je vais exposer et qui m’avait échappé, facilite et simplifie extrêmement cette application et ne laisse plus rien à désirer dans la Théorie analytique de la variation des constantes, relativement aux questions de Mécanique.
On peut regarder cette Théorie comme toute concentrée dans la formule très-simple que j’ai donnée dans le Supplément cité, et qui consiste en ce que la différence partielle d’une certaine fonction dépendante des seules forces ajoutées au système, prise relativement à une quelconque des constantes arbitraires, est toujours égale à une fonction des variables du Problème et de leurs différences prises séparément par rapport au temps et par rapport aux constantes arbitraires, laquelle fonction jouit de cette propriété singulière et très-remarquable, qu’en y substituant les valeurs des variables exprimées par le temps et par les constantes arbitraires elle doit devenir indépendante du temps, et ne plus contenir que les mêmes constantes avec leurs différences premières.
Cette circonstance de l’évanouissement de la variable, qui représente le temps dans la fonction dont il s’agit, m’a fait penser que, si les variables étaient exprimées par des séries de puissances ascendantes du
- ↑ Voir le Mémoire précédent, p. 771 du présent volume.
