temps, la fonction dont nous parlons ne contiendrait, après les substitutions, que les premiers termes tous constants de ces séries et les coefficients des seconds, à cause des différences premières des variables qui se trouvent dans la fonction. Or ces-quantités sont justement les constantes arbitraires que l’intégration introduit naturellement dans l’expression finie des variables, lorsqu’elles dépendent d’équations différentielles du second ordre, comme cela a lieu dans tous les Problèmes de la Mécanique. Il suit de là qu’en adoptant ces constantes arbitraires il suffira d’avoir égard aux deux premiers termes des expressions des variables réduites en séries.
Mais on voit par notre formule du Supplément que les différentielles des variables, relativement au temps, ne s’y trouvent que dans les différences partielles de la fonction de ces variables que nous avons nommée et qui n’est autre chose que la moitié de la force vive du système. Si donc on suppose que les valeurs de ces différences partielles soient aussi réduites en séries de puissances du temps, leurs premiers termes ne dépendront que des premiers termes et des coefficients des seconds termes des séries des premières variables. On pourra donc, pour plus de simplicité, adopter les premiers termes de ces nouvelles séries pour constantes arbitraires, à la place des coefficients des seconds termes des premières séries. De cette manière il suffira, dans les substitutions, d’avoir égard aux seuls premiers termes de ces différentes séries et la simple inspection de notre formule fait voir qu’alors la différentielle partielle de la fonction des forces, relativement à chacune des constantes arbitraires, est égale à la différentielle d’une seule de ces constantes de sorte qu’on a ainsi directement les différentielles de ces constantes devenues variables, exprimées de la manière la plus simple par les différences partielles de la même fonction.
Maintenant on sait que toutes les constantes arbitraires, que les différentes intégrations peuvent introduire, sont toujours réductibles à ces constantes arbitraires primitives ; car pour cela il n’y a qu’à supposer le temps égal à zéro dans les différentes équations intégrales qu’on aura obtenues. On aura ainsi les nouvelles constantes arbitraires en fonction
