Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/86

ticité et $\mathrm {D}$ sa densité ; on trouvera par les Théorèmes de la figure de la Terre de M. Clairaut (§§ XXVI et XLVI, seconde Partie) que l’attraction de Jupiter sur un satellitequelconque produit deux forces l’une, dirigée au centre de Jupiter, égale à

${\frac {2\varpi }{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]+{\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \,;$

l’autre ; perpendiculaire à cette direction dans le plan d’un méridien, égale à

${\frac {4\varpi }{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

($\varpi$ dénote ici la périphérie d’un cercle dont le rayon est égal à $1$). La partie

${\frac {2\varpi p}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]$

de la première de ces deux forces, étant réciproquement proportionnelle au carré de la distance, doit être comparée avec la force ${\frac {\mathbb {Z} \!^{\upsilon }}{r^{2}\left(1+p^{2}\right)}}$ (Article X) ; d’où l’on aura

$\mathbb {Z} \!^{\upsilon }=2\varpi \left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\frac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right].$

L’autre partie de la même force

${\frac {2\varpi \left(1-2p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,$

aussi bien que la force perpendiculaire

${\frac {4\varpi p}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{3}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} ,$

devront être regardées comme des forces perturbatrices, et par conséquent décomposées suivant les directions de $\mathrm {R,Q,P} \,;$ cette décomposi-