Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/87

tion étant faite, on aura les deux forces suivantes

${\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {1-4p^{2}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

dans la direction de la force $\mathrm {R} ,$ et

${\frac {2\varpi }{5r^{4}}}{\frac {3p-2p^{3}}{\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)}$

dans la direction de la force $\mathrm {P} \,;$ donc, si l’on suppose

$\nu ={\frac {\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} }{\mathrm {A} ^{2}\left[\int \mathrm {DA^{2}} d\mathrm {A} +{\cfrac {2}{3}}\int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{3}E\right)} \right]}},$

les forces perturbatrices $\mathrm {R}$ et $\mathrm {P} ,$ qui résultent de l’aplatissement de Jupiter et de l’hétérogénéité de ses couches, seront, en général,

$\mathrm {R} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p^{2}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} ={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p-2p^{3}\right)}{5r^{4}\left(1+p^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$

d’où l’on tire : par rapport au premier satellite,

$\mathrm {R} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{1}^{2}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{1}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{1}-2p_{1}^{3}\right)}{5r_{1}^{4}\left(1+p_{1}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$

par rapport au second satellite,

$\mathrm {R} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(1-4p_{2}^{2}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},\quad \mathrm {P} _{2}={\frac {\nu \mathrm {A} ^{2}\mathbb {Z} \!^{\upsilon }\left(3p_{2}-2p_{2}^{3}\right)}{5r_{2}^{4}\left(1+p_{2}^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}}\,;$

et ainsi des autres.

Il n’y aura donc qu’à ajouter ces valeurs à celles des Articles XII et XIII. Au reste, comme l’aplatissement de Jupiter n’est que d’environ ${\frac {1}{14}}$ suivant les dernières observations, la quantité $\mathrm {E}$ sera fort petite, aussi bien que la quantité $\nu \,;$ de plus le rapport de $\mathrm {A} ^{2}$ à $r^{2}$ sera toujours exprimé par une fraction fort petite ; de sorte que les forces perturbatrices dont nous venons de parler seront nécessairement très-petites.