Si l’on suppose
constante, on aura
![{\displaystyle \nu =\mathrm {\frac {3E}{1+2E}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0487dc3d53a21e78be54533db59f38360e57fc82)
En général, quelle que soit
on aura, par les conditions de l’équilibre,
![{\displaystyle \int \mathrm {D} d\mathrm {\left(A^{5}E\right)} =5\mathrm {A^{2}\left(E-{\frac {1}{2}}{\text{ϐ}}\right)\int DA^{2}} d\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd395d2e659c55099f6745fa0e5e4a061011b5df)
(ϐ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l’équateur) ; donc
![{\displaystyle \nu =5\mathrm {E} -{\frac {5}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba6ab12c88bc297f5753dacb4cfb9a348107c22)
ϐ
à très-peu près.
XVII.
Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices
en employant les suppositions de l’article V. Pour cela nous remarquerons d’abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l’ordre
parce que les quantités
sont déjà elles-mêmes de l’ordre
comme nous le verrons plus bas. Donc, mettant premièrement dans la valeur de
[Article XIV], au lieu de
au lieu de
et de même, au lieu de
et au lieu de
suivant ce que nous avons dit à l’Article IX on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta (r_{1},r_{2})\\&={\sqrt {a_{1}^{2}(1+2nx_{1})-2a_{1}a_{2}(1+nx_{1}+nx_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}(1+2nx_{2})}}\\&={\sqrt {\left({\begin{aligned}a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}+2n\left(a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}\right)&\\-2na_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})&\end{aligned}}\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faafd2cb94c47704557cfec1f7775301afed9138)
d’où l’on tire, par les séries,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{2})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{2}^{2}x_{2}-a_{1}a_{2}(x_{1}+x_{2})\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe39b5a214cc2437b2f8e695ec4049e379add88c)
On trouvera de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{3})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{3}^{2}x_{3}-a_{1}a_{3}(x_{1}+x_{3})\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{3}\cos(\varphi _{3}-\varphi _{1})+a_{3}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f79cd4d1339abb9932817ad073010d0618f2b3c)