Et pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Delta (r_{1},r_{4})^{3}}}=&\left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\\&-3n\left[a_{1}^{2}x_{1}+a_{4}^{2}x_{4}-a_{1}a_{4}(x_{1}+x_{4})\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})\right]\\&\qquad \qquad \times \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{4}\cos(\varphi _{4}-\varphi _{1})+a_{4}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d645574bf48dbfd93e3de9b9a0249fb0beeddc7)
et ainsi des autres.
XVIII.
Mais il se présente ici une difficulté, par rapport aux quantités
![{\displaystyle \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}},\quad \left[a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+a_{2}^{2}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433b09868e573c3dadcd0921b09102cc72d47d13)
c’est de pouvoir les réduire à une forme rationnelle, condition absolument nécessaire pour l’intégration des équations des satellites.
Pour résoudre cette difliculté, on écrira d’abord les radicaux proposés ainsi
![{\displaystyle a_{2}^{-3}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {3}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58be9fa790243f9322510b250575b8e27f106564)
![{\displaystyle a_{2}^{-5}\left[1-{\frac {2a_{1}}{a_{2}}}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+{\frac {a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}}}\right]^{-{\frac {5}{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a46b72261b07178400be75f2df805a41bbdaf4a)
et la question se réduira à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme
![{\displaystyle \left(1-2q\cos \theta +q^{2}\right)^{-\lambda },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc3cfee55edf20e8d206d12f9a3eedc0ebd4d37)
dans laquelle
est un nombre moindre que l’unité.
Pour y parvenir, je remarque que la quantité
est égale au produit de ces deux quantités
![{\displaystyle 1-q\left(\cos \theta +\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\quad {\text{et}}\quad 1-q\left(\cos \theta -\sin \theta {\sqrt {-1}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ec887345bb1ef7b032db8727935ff4a63a3c3f)
je les élève donc l’une et l’autre à la puissance
en écrivant au lieu du carré de
et ainsi de suite ;