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multiplier ensuite par $\gamma$ là valeur qu’on trouvera pour $y_{1},$ pour avoir sa véritable valeur ; et l’on aura une formule qui sera dans le cas de celle du n^o 51, mais avec cette différence que les coefficients $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ de celle-ci seront moindres que les coefficients $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ de celle-là.

54. Mais, si $\mathrm {A} _{1}$ n’est pas moindre que $\mathrm {B} ,$ ni ne peut le devenir en le divisant parle plus grand carré qui le mesure, alors on fera $q=\nu q_{1}+q_{2},$ et substituant cette valeur dans l’équation, elle deviendra

$p^{2}=\mathrm {A} _{1}q_{2}^{2}-2n_{1}q_{2}q_{1}+\mathrm {A} _{2}q_{1}^{2},$

où

$n_{1}=n-\nu \mathrm {A} _{1},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} _{2}=\mathrm {A} _{1}\nu ^{2}-2n\nu +\mathrm {A} ={\frac {n_{1}^{2}-\mathrm {B} }{\mathrm {A} _{1}}}.$

On déterminera, ce qui est toujours possible, le nombre entier $\nu ,$ en sorte que $n,$ ne soit pas $>{\frac {\mathrm {A} _{1}}{2}},$ abstraction faite des signes, et alors il est clair que $\mathrm {A} _{2}$ deviendra $<\mathrm {A} _{1},$ à cause de $\mathrm {A} _{2}={\frac {n^{2}-\mathrm {B} }{\mathrm {A} _{1}}},$ et de $\mathrm {B} =$ ou $<\mathrm {A} _{1},$ et $n_{1}=$ ou $<{\frac {\mathrm {A} _{1}}{2}}.$

On fera donc ici le même raisonnement que nous avons fait dans le numéro précédent, et, si $\mathrm {A} _{2}$ est carré, on aura la résolution de l’équation ; si $\mathrm {A} _{2}$ n’est pas carré, mais qu’il soit $<\mathrm {B} ,$ ou qu’il le devienne étant divisé par un carré, on multipliera l’équation par $\mathrm {A} _{2}$ et l’on aura, en faisant ${\frac {p}{q_{2}}}=y_{1}$ et $\mathrm {A_{2}=C} ,$ la formule

$\mathrm {B} y_{1}^{2}+\mathrm {C} ,$

qui devra être un carré, et dans laquelle les coefficients $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ (après avoir supprimé dans $\mathrm {C}$ les diviseurs carrés, s’il y en a) seront moindres que ceux de la formule $\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B}$ du n^o 51.

Mais, si ces cas n’ont pas lieu, on fera comme ci-dessus $q_{1}=\nu _{1}q_{2}+q_{3},$ et l’équation se changera en celle-ci

$p^{2}=\mathrm {A} _{3}q_{2}^{2}-2n_{2}q_{2}q_{3}+\mathrm {A} _{2}q_{3}^{2},$

où

$n_{2}=n_{1}-\nu _{1}\mathrm {A} _{2},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} _{3}=\mathrm {A} _{2}\nu _{1}^{2}-2n_{1}\nu _{1}+\mathrm {A} _{1}={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {B} }{\mathrm {A} _{2}}}.$