multiplier ensuite par
là valeur qu’on trouvera pour
pour avoir sa véritable valeur ; et l’on aura une formule qui sera dans le cas de celle du no 51, mais avec cette différence que les coefficients
et
de celle-ci seront moindres que les coefficients
et
de celle-là.
54. Mais, si
n’est pas moindre que
ni ne peut le devenir en le divisant parle plus grand carré qui le mesure, alors on fera
et substituant cette valeur dans l’équation, elle deviendra
![{\displaystyle p^{2}=\mathrm {A} _{1}q_{2}^{2}-2n_{1}q_{2}q_{1}+\mathrm {A} _{2}q_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be3a497e2de06ce97a7b4a9f16b626b4a0dfaea)
où
![{\displaystyle n_{1}=n-\nu \mathrm {A} _{1},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} _{2}=\mathrm {A} _{1}\nu ^{2}-2n\nu +\mathrm {A} ={\frac {n_{1}^{2}-\mathrm {B} }{\mathrm {A} _{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8abd678ef02080f14146898f5ecde7b32e12b4)
On déterminera, ce qui est toujours possible, le nombre entier
en sorte que
ne soit pas
abstraction faite des signes, et alors il est clair que
deviendra
à cause de
et de
ou
et
ou
On fera donc ici le même raisonnement que nous avons fait dans le numéro précédent, et, si
est carré, on aura la résolution de l’équation ; si
n’est pas carré, mais qu’il soit
ou qu’il le devienne étant divisé par un carré, on multipliera l’équation par
et l’on aura, en faisant
et
la formule
![{\displaystyle \mathrm {B} y_{1}^{2}+\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4188cab535a320e63b373ca3219f0049b7223bc)
qui devra être un carré, et dans laquelle les coefficients
et
(après avoir supprimé dans
les diviseurs carrés, s’il y en a) seront moindres que ceux de la formule
du no 51.
Mais, si ces cas n’ont pas lieu, on fera comme ci-dessus
et l’équation se changera en celle-ci
![{\displaystyle p^{2}=\mathrm {A} _{3}q_{2}^{2}-2n_{2}q_{2}q_{3}+\mathrm {A} _{2}q_{3}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20fbe723b4847d47ebd7bd87909538f71a4f5b66)
où
![{\displaystyle n_{2}=n_{1}-\nu _{1}\mathrm {A} _{2},\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} _{3}=\mathrm {A} _{2}\nu _{1}^{2}-2n_{1}\nu _{1}+\mathrm {A} _{1}={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {B} }{\mathrm {A} _{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec47efd1abad98bf517b010503079bba7cc61e4)