On prendra donc pour un nombre entier, tel que ne soit pas abstraction faite des signes ; et, comme n’est pas (hyp.), il s’ensuit de l’équation
que sera ainsi l’on pourra faire derechef les mêmes raisonnements que ci-dessus, et l’on en tirera des conclusions semblables, et ainsi de suite.
Maintenant, comme les nombres forment une suite décroissante de nombres entiers, il est visible qu’en continuant cette suite on parviendra nécessairement à un terme moindre que le nombre donné et alors, nommant ce terme on aura, comme nous l’avons vu ci-dessus, la formule
à rendre égale à un carré ; de sorte que, par les opérations que nous venons d’exposer, on sera toujours assuré de pouvoir ramener la formule à une autre plus simple, telle que au moins si le Problème est résoluble.
55. De même qu’on a réduit la formule à celle-ci on pourra réduire cette dernière à cette autre-ci
où sera moindre que ainsi de suite ; et, comme les nombres forment une série décroissante de nombres entiers, il est clair que cette série ne pourra pas aller à l’infini, et qu’ainsi l’opération sera toujours nécessairement terminée. Si la question n’admet point de solution en nombres rationnels, on parviendra à une condition impossible ; mais, si la question est résoluble, on arrivera toujours à une équation semblable à celle du no 53, et où l’un des coefficients, comme sera carré, en sorte qu’elle sera susceptible des méthodes connues ; cette
