de sorte qu’en nommant la racine
on aura
![{\displaystyle -5r^{2}+3s^{2}=z_{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5912cab9babcfce17f4d43027dd955057d79c740)
et de là
![{\displaystyle -5r^{2}=z_{1}^{2}-3s^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5295999c4257ce532565fe323ed3fadff27a5b89)
On prendra donc
et il faudra que
soit un nombre entier non
et tel que
soit divisible par
or c’est ce qui est impossible, car on ne pourrait prendre que
ou
ce qui donne
ou
Ainsi l’on en doit conclure que le Problème n’est pas résoluble, c’est-à-dire qu’il est impossible que la formule
puisse jamais devenir égale à un nombre carré, quelque nombre que l’on substitue à la place de
.
Corollaire.
59. Si l’on avait une équation quelconque du second degré à deux inconnues, telle que
![{\displaystyle a+bx+cy+dx^{2}+exy+fy^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c688681e3179e7aa9609535d59d6ed954b94f5)
et que l’on proposât de trouver des valeurs rationnelles de
et
qui satisfissent à cette équation, on y pourrait parvenir, lorsque cela est possible, par la méthode que nous venons d’exposer.
En effet, si l’on tire la valeur de
en
on aura
![{\displaystyle 2fy+ex+c={\sqrt {(c+ex)^{2}-4f\left(a+bx+dx^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8180dd8aa15fcf1e60eb76c811a8a18d21f8182)
ou bien, en faisant ![{\displaystyle \alpha =c^{2}-4af^{2},\ \beta =2ce-4bf,\ \gamma =e^{2}-4df,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27987f9edc48903405e4d31c9dfbba024a2d54ec)
![{\displaystyle 2fy+ex+c={\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b00207a011987cc4be607b6fec52e9fb8ee6a1d)
de sorte que la question sera réduite à trouver des valeurs de
qui rendent rationnel le radical ![{\displaystyle {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6acad65447f0a924d7bd4499571ebc08a2cb3b57)