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Remarque.

60. Nous avons déjà traité ce même sujet, mais d’une manière un peu différente, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin pour l’année 1767^[1], et nous croyons être les premiers qui aient donné une méthode directe et exempte de tâtonnements pour la solution des Problèmes indéterminés du second degré. Le lecteur qui sera curieux d’approfondir cette matière pourra consulter les Mémoires cités, où il trouvera surtout des remarques nouvelles et importantes sur la recherche des nombres entiers qui, étant pris pour $n,$ peuvent rendre $n^{2}-\mathrm {B}$ divisible par $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des nombres donnés.

On trouvera aussi, dans les Mémoires pour les années 1770 et suivantes, des recherches sur la forme des diviseurs des nombres représentés par $z^{2}-\mathrm {B} q^{2}\,;$ de sorte que, par la forme même du nombre $\mathrm {A} ,$ on pourra juger souvent de l’impossibilité de l’équation

$\mathrm {A} p^{2}=z^{2}-\mathrm {B} q^{2},\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} =$ à un carré^[2] (n^o 52).

Legendre s’est occupé depuis, dans le Mémoire cité plus haut (n^o 47), à chercher les conditions générales de la possibilité ou de l’impossibilité des équations indéterminées du second degré, et il est parvenu à ce Théorème remarquable, que

L’équation $ax^{2}+by^{2}=cz^{2},$ dans laquelle $a,b,c$ sont positifs, premiers entre eux et dégagés de tout facteur carré, est résoluble, si l’on peut trouver trois entiers $\lambda ,\mu ,\nu ,$ tels que les trois quantités ${\frac {a\lambda ^{2}-b}{c}},{\frac {c\mu ^{2}-b}{a}},$ ${\frac {c\nu ^{2}-a}{b}},$ soient des entiers.

§ VI. — Sur les doubles et triples égalités.

61. Nous traiterons ici en peu de mots des doubles et triples égalités, qui sont d’un usage très-fréquent dans l’Analyse de Diophante, et pour

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 377.
2. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 581.