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la solution desquelles ce grand géomètre et ses commentateurs ont cru devoir donner des règles particulière.

Lorsqu’on a une formule contenant une ou plusieurs inconnues à égaler à une puissance parfaite, comme à un carré ou à un cube, etc., cela s’appelle, dans l’Analyse de Diophante, une égalité simple ; et lorsqu’on a deux formules contenant la même ou les mêmes inconnues à égaler chacune à des puissances parfaites, cela s’appelle une égalités double ; et ainsi de suite.

Jusqu’ici on a vu comment il faut résoudre les égalités simples où l’inconnue ne passe pas le second degré, et où la puissance proposée est la seconde, c’est-à-dire le carré.

Voyons donc comment on doit traiter les égalités doubles et triples de la même espèce.

62. Soit d’abord proposée cette égalité doublée

$a+bx=$ à un carré, $\quad c+dx=$ à un carré,

où l’inconnue $x$ ne se trouve qu’au premier degré.

Faisant

$a+bx=t^{2},\quad c+dx=u^{2},$

et chassant $x$ de ces deux équations, on aura

$ad-bc=dt^{2}-bu^{2}\,;$

donc

$dt^{2}=bu^{2}+ad-bc,\quad {\text{et}}\quad (dt)^{2}=dbu^{2}+(ad-bc)d\,;$

de sorte que la difficulté sera réduite à trouver une valeur rationnelle de $u,$ telle que $dbu^{2}+ad^{2}-bcd$ devienne un carré. On résoudra cette égalité simple par la méthode exposée ci-dessus, et, connaissant ainsi $u,$ on aura

$x={\frac {u^{2}-c}{d}}.$

Si l’égalité doublée était

$ax+bx=$ à un carré, $\quad cx^{2}+dx=$ à un carré,