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il n’y aurait qu’à faire $x={\frac {1}{x_{1}}}$ et multiplier ensuite l’une et l’autre formule par le carré $x_{1}^{2}\,;$ on aurait ces deux autres égalités

$a+bx_{1}=$ à un carré,$\quad c+dx_{1}=$ à un carré,

qui sont semblables aux précédentes.

Ainsi l’on peut résoudre, en général, toutes les égalités doubles où l’inconnue ne passe pas le premier degré, et celles où l’inconnue se trouve dans tousles termes, pourvu qu’elle ne passe pas le second degré ; mais il n’en est pas de même lorsque l’on a des égalités de cette forme

$a+bx+cx^{2}=$ à un carré, $\quad \alpha +\beta x+\gamma x^{2}=$ à un carré.

Si l’on résout la première de ces égalités par notre méthode, et qu’on nomme $f$ la valeur de $x$ qui rend $a+bx+cx^{2}=$ au carré $g^{2},$ on aura en général ( n^o 57)

$x={\frac {fm^{2}-2gm+b+cf}{m^{2}-c}}\,;$

donc, substituant cette expression de $x$ dans l’autre formule $\alpha +\beta x+\gamma x^{2},$ et la multipliant ensuite par $\left(m^{2}-c\right)^{2},$ on aura à résoudre l’égalité

${\begin{aligned}\alpha \left(m^{2}-c\right)^{2}+\beta \left(m^{2}-c\right)&\left(fm^{2}-2gm+b+cf\right)\\+\gamma &\,(fm^{2}-2gm+b+cf)^{2}=\mathrm {{\grave {a}}\ un\ carr{\acute {e}}} ,\end{aligned}}$

dans laquelle l’inconnue $m$ monte au quatrième degré.

Or on n’a jusqu’à présent aucune règle générale pour résoudre ces sortes d’égalités, et tout ce qu’on peut faire, c’est de trouver successivement différentes solutions, lorsqu’on en connaît une seule (voyez le Chapitre IX).

63. Si l’on avait la triple égalité

$ax+by=$ à un carré, $\quad cx+dy=$ à un carré, $\quad hx+ky=$ à un carré,

on ferait

$ax+by=t^{2},\quad cx+dy=u^{2},\quad hx+ky=s^{2},$