et, chassant
et
de ces trois équations, on aurait celle-ci
![{\displaystyle (ak-bh)u^{2}-(ck-dh)t^{2}=(ad-cb)s^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5773c555bff669e09dfd9986e12344fa69d6f7)
de sorte qu’en fraisant
la difficulté se réduirait à résoudre l’égalité simple
![{\displaystyle {\frac {ak-bh}{ad-cb}}z^{2}-{\frac {ck-dh}{ad-cb}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6cbd1c42233aa26a4411a5a6d11c93fcb8a0c9)
à un carré,
laquelle est, comme l’on voit, dans le cas de notre méthode générale.
Ayant trouvé la valeur de
on aura
et les deux premières équations donneront
![{\displaystyle x={\frac {d-bz^{2}}{ad-cb}}t^{2},\quad y={\frac {az^{2}-c}{ad-cb}}t^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888db55fd5accbd5b184f22bdf782721e73a07ca)
Mais, si la triple égalité proposée ne contenait qu’une seule variable, on retomberait alors dans une égalité où l’inconnue monterait au quatrième degré.
En effet, il est clair que ce cas peut se déduire du précédent, en faisant
de sorte qu’il faudra que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {az^{2}-c}{ad-cb}}t^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53644f1e22788b56c7628b411fb57a94ec96117)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {az^{2}-c}{ad-cb}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7eed93c00c4156549211b7c3a7548301d2c7842)
à un carré.
Or, nommant
une des valeurs de
qui peuvent satisfaire à l’égalité ci-dessus, et faisant, pour abréger,
on aura en général (no 57)
![{\displaystyle z={\frac {fm^{2}-2gm+ef}{m^{2}-e}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888abb6f0008d4bddd72c94a32ed63ca93f08704)
Donc, substituant cette valeur de
dans la dernière égalité et la multipliant toute par le carré de
on aura celle-ci
![{\displaystyle {\frac {a\left(fm^{2}-2gm+ef\right)^{2}-c\left(m^{2}-e\right)^{2}}{ad-cb}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0640144af8a504560b9362125a543b8b196ce40)
à un carré,
où l’inconnue
monte, comme l’on voit, au quatrième degré.