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et, chassant $x$ et $y$ de ces trois équations, on aurait celle-ci

$(ak-bh)u^{2}-(ck-dh)t^{2}=(ad-cb)s^{2}\,;$

de sorte qu’en fraisant ${\frac {u}{t}}=z,$ la difficulté se réduirait à résoudre l’égalité simple

${\frac {ak-bh}{ad-cb}}z^{2}-{\frac {ck-dh}{ad-cb}}=$ à un carré,

laquelle est, comme l’on voit, dans le cas de notre méthode générale.

Ayant trouvé la valeur de $z,$ on aura $u=tz,$ et les deux premières équations donneront

$x={\frac {d-bz^{2}}{ad-cb}}t^{2},\quad y={\frac {az^{2}-c}{ad-cb}}t^{2}.$

Mais, si la triple égalité proposée ne contenait qu’une seule variable, on retomberait alors dans une égalité où l’inconnue monterait au quatrième degré.

En effet, il est clair que ce cas peut se déduire du précédent, en faisant $y=1,$ de sorte qu’il faudra que l’on ait

${\frac {az^{2}-c}{ad-cb}}t^{2}=1,$

et par conséquent

${\frac {az^{2}-c}{ad-cb}}=$ à un carré.

Or, nommant $f$ une des valeurs de $z$ qui peuvent satisfaire à l’égalité ci-dessus, et faisant, pour abréger, ${\frac {ak-bh}{ad-cb}}=e,$ on aura en général (n^o 57)

$z={\frac {fm^{2}-2gm+ef}{m^{2}-e}}.$

Donc, substituant cette valeur de $z$ dans la dernière égalité et la multipliant toute par le carré de $m^{2}-e,$ on aura celle-ci

${\frac {a\left(fm^{2}-2gm+ef\right)^{2}-c\left(m^{2}-e\right)^{2}}{ad-cb}}=$ à un carré,

où l’inconnue $m$ monte, comme l’on voit, au quatrième degré.