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§ VII. — Méthode directe et générales pour trouver toutes les valeurs de $y$ exprimées en nombres entiers, par lesquelles on peut rendre rationnelles les quantités de la forme ${\sqrt {\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} }},$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des nombres entiers donnés et pour trouver aussi toutes les solutions possibles en nombres entiers des équations indéterminées du second degré à deux inconnues.

(Addition pour le Chapitre VI).

64. Quoique par la méthode du § V on puisse trouver des formules générales qui renferment toutes les valeurs rationnelles de $y$, propres à rendre $\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B}$ égal à un carré, cependant ces formules ne sont d’aucun usage lorsqu’on demande pour $y$ des valeurs exprimées en nombres entiers ; c’est pourquoi nous sommes obligé de donner ici une nouvelle méthode pour résoudre la question dans le cas des nombres entiers.

Soit donc

$\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} =x^{2}\,;$

et, comme $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont supposés des nombres entiers, et que $y$ doit être aussi un nombre entier, il est clair que $x$ devra être pareillement entier ; de sorte qu’on aura à résoudre en entiers l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} .$

Je commence par remarquer ici que, si $\mathrm {B}$ n’est divisible par aucun nombre carré, il faudra nécessairement que $y$ soit premier à $\mathrm {B} \,;$ car supposons, s’il est possible, que $y$ et $\mathrm {B}$ aient une commune mesure, en sorte que $y=\alpha y_{1},$ et $\mathrm {B} =\alpha \mathrm {B} _{1}\,;$ donc on aura

$x^{2}=\mathrm {A} \alpha ^{2}y_{1}^{2}+\alpha \mathrm {B} _{1},$

d’où il s’ensuit qu’il faudra que $x^{2}$ soit divisible par $\alpha \,;$ et, comme $\alpha$ n’est ni carré, ni divisible par aucun carré (hyp.), à cause que $\alpha$ est facteur