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de $\mathrm {B} ,$ il faudra que $x$ soit divisible par $\alpha \,;$ faisant donc $x=\alpha x_{1},$ on aura

$\alpha ^{2}x_{1}^{2}=\alpha ^{2}\mathrm {A} y^{2}+\alpha \mathrm {B} _{1},$

ou bien, en divisant par $\alpha ,$

$\alpha x_{1}^{2}=\alpha \mathrm {A} y_{1}^{2}+\mathrm {B} _{1}\,;$

d’où l’on voit que $\mathrm {B} ,$ devrait encore être divisible par $\alpha ,$ ce qui est contre l’hypothèse.

Ce n’est donc que lorsque $\mathrm {B}$ contient des facteurs carrés que $y$ peut avoir une commune mesure avec $\mathrm {B} \,;$ et il est facile de voir par la démonstration précédente que cette commune mesure de $y$ et de $\mathrm {B}$ ne peut être que la racine d’un des facteurs carrés de $\mathrm {B} ,$ et que le nombre $x$ devra avoir la même commune mesure ; en sorte que toute l’équation sera divisible par le carré de ce commun diviseur de $x,y$ et $\mathrm {B} .$

De là je conclus

1^o Que, si $\mathrm {B}$ n’est divisible par aucun carré, $y$ et $\mathrm {B}$ seront premiers entre eux ;

2^o Que, si $\mathrm {B}$ est divisible par un seul carré $\alpha ^{2},$ $y$ pourra être premier à $\mathrm {B}$ ou divisible par $\alpha ,$ ce qui fait deux cas qu’il faudra examiner séparément dans le premier cas, on résoudra l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,$

en supposant $y$ et $\mathrm {B}$ premiers entre eux ; dans le second, on aura à résoudre l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} _{1},$

$\mathrm {B} _{1}$ étant $={\frac {\mathrm {B} }{\alpha ^{2}}},$ en supposant aussi $y$ et $\mathrm {B} _{1}$ premiers entre eux ; mais il faudra ensuite multiplier par $\alpha$ les valeurs qu’on aura trouvées pour $y$ et $x$ pour avoir les valeurs convenables à l’équation proposée ;

3^o Que, si $\mathrm {B}$ est divisible par deux différents carrés, $\alpha ^{2}$ et $\beta ^{2},$ on aura trois cas à considérer dans le premier, on résoudra l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,$