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en regardant $y$ et $\mathrm {B}$ comme premiers entre eux ; dans le second, on résoudra de même l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} _{1},$

$\mathrm {B} _{1}$ étant $={\frac {\mathrm {B} }{\alpha ^{2}}},$ dans l’hypothèse de $y$ et $\mathrm {B} _{1}$ premiers entre eux, et l’on multipliera ensuite les valeurs de $x$ et $y$ par $\alpha \,;$ dans le troisième, on résoudra l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} _{2},$

$\mathrm {B} _{2}$ étant $={\frac {\mathrm {B} }{\beta ^{2}}},$ dans l’hypothèse de $y$ et $\mathrm {B} _{2}$ premiers entre eux, et l’on multipliera ensuite les valeurs de $x$ et de $y$ par $\beta \,;$

4^o Etc.

Ainsi on aura autant d’équations différentes à résoudre qu’il y aura de différents diviseurs carrés de $\mathrm {B} \,;$ mais ces équations seront toutes de la même forme

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,$

et $y$ sera aussi toujours premier à $\mathrm {B} .$

65. Considérons donc, en général, l’équation

$x^{2}-\mathrm {A} y^{2}=\mathrm {B} ,$

où $y$ est premier à $\mathrm {B} \,;$ et, comme $x$ et $y$ doivent être des nombres entiers, il faudra que $x^{2}-\mathrm {A} y^{2}$ soit divisible par $\mathrm {B} .$

On fera donc, suivant la méthode du § IV (n^o 48), $x=ny-\mathrm {B} z,$ et l’on aura l’équation

$\left(n^{2}-\mathrm {A} \right)y^{2}-2n\mathrm {B} yz+\mathrm {B} ^{2}z^{2}=\mathrm {B} ,$

par laquelle on voit que le terme $(n^{2}-\mathrm {A} )y^{2}$ doit être divisible par $\mathrm {B} ,$ puisque tous les autres le sont d’eux-mêmes ; donc, comme $y$ est premier à $\mathrm {B}$ (hyp.), il faudra que $n^{2}-\mathrm {A}$ soit divisible par $\mathrm {B} \,;$ de sorte qu’en faisant ${\frac {n^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {B} }}=\mathrm {C}$ on aura, après avoir divisé par $\mathrm {B} ,$

$\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1\,;$