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Or cette équation est plus simple que la proposée, en ce que le second membre est égal à l’unité.

On cherchera donc les valeurs de $n$ qui peuvent rendre $n^{2}-\mathrm {A}$ divisible par $\mathrm {B} \,;$ pour cela il suffira (n^o 47) d’essayer pour $n$ tous les nombres entiers positifs ou négatifs non $>{\frac {\mathrm {B} }{2}}\,;$ et, si parmi ceux-ci on n’en trouve aucun qui satisfasse, on en conclura d’abord qu’il est impossible que $n^{2}-\mathrm {A}$ puisse être divisible par $\mathrm {B} ,$ et qu’ainsi l’équation proposée n’est pas résoluble en nombres entiers.

Mais, si l’on trouve de cette manière un ou plusieurs nombres satisfaisants, on les prendra l’un après l’autre pour $n,$ ce qui donnera autant de différentes équations, qu’il faudra traiter séparément, et dont chacune pourra fournir une ou plusieurs solutions de la question proposée.

Quant aux valeurs de $n$ qui surpasseraient celle de ${\frac {\mathrm {B} }{2}}$ en pourra faire abstraction, parce qu’elles ne donneraient point d’équations différentes de celles, qui résulteront des valeurs de $n$ qui ne sont pas $>{\frac {\mathrm {B} }{2}},$ comme nous l’avons déjà montré dans le n^o 52.

Au reste, comme la condition par laquelle on doit déterminer $n$ est que $n^{2}-\mathrm {A}$ soit divisible par $\mathrm {B} ,$ il est clair que chaque valeur de $n$ pourra être également positive ou négative ; de sorte qu’il suffira d’essayer successivement pour $n$ tous les nombres naturels qui ne sont pas plus grands que ${\frac {\mathrm {B} }{2}},$ et de prendre ensuite les valeurs satisfaisantes de $n,$ tant en plus qu’en moins.

Nous avons donné ailleurs des règles pour faciliter la recherche des valeurs de $n$ qui peuvent avoir la propriété requise, et même pour trouver ces valeurs a priori dans un grand nombre de cas. [Voir les Mémoires de Berlin pour l’année 1767, pages 194 et 274^[1].]

Résolution de l’équation $\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}=1$ en nombres entiers.

On peut résoudre cette équation par deux méthodes différentes, que nous allons expliquer.

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 377 et 655.