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Première méthode.

66. Comme les quantités $\mathrm {C} ,n,\mathrm {B}$ sont supposées des nombres entiers, de même que les indéterminées $y$ et $z,$ il est visible que la quantité

$\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}$

sera toujours nécessairement égale a des nombres entiers ; par conséquent l’unité sera la plus petite valeur qu’elle puisse recevoir, à moins qu’elle ne puisse devenir nulle, ce qui ne peut arriver que lorsque cette quantité peut se décomposer en deux facteurs rationnels. Comme ce cas n’a aucune difficulté, nous en ferons d’abord abstraction, et la question se réduira à trouver les valeurs de $y$ et $z$ qui rendront la quantité dont il s’agit le plus petite qu’il est possible ; si le minimum est égal à l’unité, on aura la résolution de l’équation proposée sinon, on sera assuré qu’elle n’admet aucune solution en nombres entiers. Ainsi le Problème présent rentre dans le Problème III du § II, et est susceptible d’une solution semblable. Or, comme l’on a ici (n^o 65)

$(2n)^{2}-4\mathrm {BC=4A} ,$

il faudra distinguer deux cas, suivant que $\mathrm {A}$ sera positif ou négatif.

Premier cas, lorsque $n^{2}-\mathrm {BC=A} <0.$

67. Suivant la méthode du n^o 32, il faudra réduire en fraction continue la fraction ${\frac {n}{\mathrm {C} }},$ prise positivement : c’est ce qu’on exécutera par la règle du n^o 4 ; ensuite on formera par les formules du n^o 10 la série des fractions convergentes vers ${\frac {n}{\mathrm {C} }},$ et il n’y aura plus qu’à essayer successivement les numérateurs de ces fractions pour le nombre $y,$ et les dénominateurs correspondants pour le nombre $z.$ Si la proposée est résoluble en nombres entiers, on trouvera de cette manière les valeurs