satisfaisantes de
et
et réciproquement, on sera assuré que la proposée n’admet aucune solution en nombres entiers ; si, parmi les nombres qu’on aura essayés, il ne s’en trouve point de satisfaisants.
Second cas, lorsque ![{\displaystyle n^{2}-\mathrm {BC=A} >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0e607edbb92e8039ad8a528bb2fbd47c6d7357)
68. On fera usage ici de la méthode des nos 33 et suivants ; ainsi, à cause de
on considérera d’abord la quantité (no 39)
![{\displaystyle a={\frac {n\pm {\sqrt {\mathrm {A} }}}{\mathrm {C} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b466d8071c4f69c87b7edc6b6eeabb5d3c66b6cb)
dans laquelle il faudra déterminer les signes tant de la valeur de
que nous avons vue pouvoir être également positive et négative, que de
en sorte qu’elle devienne positive ; ensuite on fera le calcul suivant :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathrm {Q} _{0}&=-n,&\mathrm {P} _{0}&=\mathrm {C} ,&\mu \ \,&<\mathrm {\frac {-Q_{0}\pm {\sqrt {A}}}{P_{0}}} ,\\\mathrm {Q} _{1}&=\mu \ \,\mathrm {P_{0}+Q_{0}} ,&\mathrm {P} _{1}&=\mathrm {\frac {Q_{1}^{2}-A}{P_{0}}} ,&\mu _{1}&<\mathrm {\frac {-Q_{1}\mp {\sqrt {A}}}{P_{1}}} ,\\\mathrm {Q} _{2}&=\mu _{1}\mathrm {P_{1}+Q_{1}} ,&\mathrm {P} _{2}&=\mathrm {\frac {Q_{2}^{2}-A}{P_{1}}} ,&\mu _{2}&<\mathrm {\frac {-Q_{2}\pm {\sqrt {A}}}{P_{2}}} ,\\\mathrm {Q} _{3}&=\mu _{2}\mathrm {P_{2}+Q_{2}} ,\qquad &\mathrm {P} _{3}&=\mathrm {\frac {Q_{3}^{2}-A}{P_{2}}} ,\qquad &\mu _{3}&<\mathrm {\frac {-Q_{3}\mp {\sqrt {A}}}{P_{3}}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b240dfd4da9fb868d1a72a593ce5c310e0bec1d5)
et l’on continuera seulement ces séries jusqu’à ce que deux termes correspondants de la première et de la seconde série reparaissent ensemble. Alors, si, parmi les termes de la seconde série
il s’en trouve un égal à l’unité positive, ce terme donnera une solution de l’équation proposée, et les valeurs de
et
seront les termes correspondants des deux séries
et
calculées par les formules du no 25 ; sinon, on en conclura sur-le-champque la proposée n’est pas résoluble en nombres entiers. (Voir l’Exemple du no 40.)