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Troisième cas, lorsque $\mathrm {A} =$ à un carré.

69. Dans ce cas le nombre ${\sqrt {\mathrm {A} }}$ deviendra rationnel, et la quantité

$\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}$

pourra se décomposer en deux facteurs rationnels. En effet, cette quantité n’est autre chose que celle-ci

${\frac {(\mathrm {C} y-nz)^{2}-\mathrm {A} z^{2}}{\mathrm {C} }},$

laquelle, en supposant $\mathrm {A} =a^{2},$ peut se mettre sous cette forme

${\frac {\left[\mathrm {C} y-(n+a)z\right]\left[\mathrm {C} y-(n-a)z\right]}{\mathrm {C} }}.$

Or, comme

$n^{2}-a^{2}=\mathrm {BC} =(n+a)(n-a),$

il faudra que le produit de $n+a$ par $n-a$ soit divisible par $\mathrm {C} ,$ et par conséquent que l’un de ces deux nombres $n+a$ et $n-a$ soit divisible par un des facteurs de $\mathrm {C} ,$ et l’autre par le facteur réciproque. Supposons donc $\mathrm {C} =bc,$ et que $n+a=fb$ et $n-a=gc,$ $f$ et $g$ étant des nombres entiers, et la quantité précédente deviendra le produit de ces deux facteurs linéaires $cy-fz$ et $by-gz\,;$ donc, puisque ces deux facteurs sont égaux à des nombres entiers, il est clair que leur produit ne saurait être $=1$ comme l’équation proposée le demande, à moins que chacun d’eux ne soit en particulier $=\pm 1.$ On fera donc

$cy-fz=\pm 1,\quad by-gz=\pm 1,$

et l’on déterminera par là les nombres $y$ et $z\,;$ si ces nombres se trouvent entiers, on aura la solution de l’équation proposée ; sinon, elle sera insoluble, au moins en nombres entiers.