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Seconde méthode.

70. Qu’on pratique sur la formule

$\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}$

des transformations semblables à celles dont nous avons fait usage plus haut (n^o 54), et je dis qu’on pourra toujours parvenir à une transformée telle que

$\mathrm {L\xi ^{2}-2M\xi \psi +N\psi ^{2}} ,$

les nombres $\mathrm {L,M,N}$ étant des nombres entiers, dépendants des nombres donnés $\mathrm {C,B} ,n,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {M^{2}-LN} =n^{2}-\mathrm {CB=A} ,$

et que, de plus, $2\mathrm {M}$ ne soit pas plus grand (abstraction faite des signes) que le nombre $\mathrm {L}$ ni que le nombre $\mathrm {N} \,;$ les nombres $\xi$ et $\psi$ seront aussi des nombres entiers, mais dépendants des nombres indéterminés $y$ et $z.$

En effet, soit, par exemple, $\mathrm {C}$ moindre que $\mathrm {B} ,$ et qu’on mette la formule dont il s’agit sous cette forme

$\mathrm {B} _{1}y^{2}-2nyy_{1}+\mathrm {B} y_{1}^{2},$

en faisant $\mathrm {C=B_{1}}$ et $z=y_{1}\,;$ si $2n$ n’est pas plus grand que $\mathrm {B} _{1},$ il est clair que cette formule aura déjà d’elle-même les conditions requises ; mais, si $2n$ est plus grand que $\mathrm {B} _{1},$ alors on supposera $y=my_{1}+y_{2},$ et, substituant, on aura la transformée

$\mathrm {B} _{1}y_{2}^{2}-2n_{1}y_{2}y_{1}+\mathrm {B} _{2}y_{1}^{2},$

où

$n_{1}=n-m\mathrm {B} _{1},$

$\mathrm {B} _{2}=m^{2}\mathrm {B} _{1}-2mn+\mathrm {B} ={\frac {n^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {B} _{1}}}.$

Or, comme le nombre $m$ est indéterminé, on pourra, en le supposant entier, le prendre tel que le nombre $n-m\mathrm {B} _{1}$ ne soit pas plus grand