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que ${\frac {1}{2}}\mathrm {B} _{1}\,;$ alors $2n_{1}$ ne surpassera pas $\mathrm {B} _{1}.$ Ainsi, si $2n_{1}$ ne surpasse pas non plus $\mathrm {B} _{2},$ la transformée précédente sera déjà dans le cas qu’on a en vue ; mais, si $2n_{1}$ est plus grand que $\mathrm {B} _{2},$ on continuera alors à supposer $y_{1}=m_{1}y_{2}+y_{3},$ ce qui donnera la nouvelle transformée

$\mathrm {B} _{3}y_{2}^{2}-2n_{2}y_{2}y_{3}+\mathrm {B} _{2}y_{3}^{2},$

où

$n_{2}=n-m_{1}\mathrm {B} _{2},$

$\mathrm {B} _{3}=m_{1}^{2}\mathrm {B} _{2}-2m_{1}n_{1}+\mathrm {B} _{1}={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {B} _{2}}}.$

On déterminera le nombre entier $m_{1},$ en sorte que $n_{1}-m_{1}\mathrm {B} _{2}$ ne soit pas plus grand que ${\frac {\mathrm {B} _{2}}{2}},$ moyennant quoi $2n_{2}$ ne surpassera pas $\mathrm {B} _{2}\,;$ de sorte que l’on aura la transformée cherchée, si $2n_{2}$ ne surpasse pas non plus $\mathrm {B} _{3}\,;$ mais, si $2n_{2}$ surpasse $\mathrm {B} _{3},$ on supposera de nouveau $y_{2}=m_{2}y_{3}+y_{4},$ etc.

Or il est visible que ces opérations ne peuvent pas aller à l’infini ; car, puisque $2n$ est plus grand que $\mathrm {B} _{1}$ et que $2n_{1}$ ne l’est pas, il est clair que $n_{1}$ sera moindre que $n\,:$ de même, $2n_{1}$ est plus grand que $\mathrm {B} _{2},$ et $2n_{2}$ ne l’est pas ; donc $n_{2}$ sera moindre que $n_{1},$ et ainsi de suite, de sorte que les nombres $n,n_{1},n_{2},\ldots$ formeront une suite décroissante de nombres entiers, laquelle ne pourra par conséquent pas aller à l’infini. On parviendra donc nécessairement à une formule où le coefficient du terme moyen ne sera pas plus grand que ceux des deux termes extrêmes, et qui aura d’ailleurs les autres propriétés que nous avons énoncées ci-dessus, ce qui est évident par la nature même des transformations pratiquées.

Pour faciliter la transformation de la formule

$\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {B} z^{2}$

en celle-ci

$\mathrm {L\xi ^{2}-2M\xi \psi +N\psi ^{2}} ,$

je désigne par $\mathrm {D}$ le plus grand des deux coefficients extrêmes $\mathrm {C}$ et $\mathrm {B} ,$ et