par
l’autre coefficient ; et, vice versâ, je désigne par
la variable dont le carré se trouvera multiplié par
et par
l’autre variable ; en sorte que la formule proposée prenne cette forme
![{\displaystyle \mathrm {D} _{1}\theta ^{2}-2n\theta \theta _{1}+\mathrm {D} \theta _{1}^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88cdac36e22b32b156108ed8f36b7ab9cad47680)
où
soit moindre que
ensuite je n’aurai qu’à faire le calcul suivant :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}m\ \,&={\frac {n}{\mathrm {D} _{1}}},\qquad &n_{1}&=n\ \,-m\mathrm {D} _{1},\qquad &\mathrm {D} _{2}&={\frac {n_{1}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {D} _{1}}},\qquad &\theta \ \,&=m\ \,\theta _{1}+\theta _{2},\\m_{1}&={\frac {n_{1}}{\mathrm {D} _{2}}},&n_{2}&=n_{1}-m_{1}\mathrm {D} _{2},&\mathrm {D} _{3}&={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {D} _{2}}},&\theta _{1}&=m_{1}\theta _{2}+\theta _{3},\\m_{2}&={\frac {n_{2}}{\mathrm {D} _{3}}},&n_{3}&=n_{2}-m_{2}\mathrm {D} _{3},&\mathrm {D} _{4}&={\frac {n_{3}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {D} _{3}}},&\theta _{2}&=m_{2}\theta _{3}+\theta _{4},\\\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7ab5f27b9a640d2e9241ac1221e31d50a88bd8)
où il faut bien remarquer que le signe
qui est mis après les lettres ![{\displaystyle m,m_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408026cac89018841782bb4ccae9485c2ea7f51d)
n’indique pas une égalité parfaite, mais seulement une égalité aussi approchée qu’il est possible, en tant qu’on n’entend par
que des nombres entiers. Je n’ai employé ce signe
que faute d’un autre signe convenable.
Ces opérations doivent être continuées jusqu’à ce que, dans la série
on trouve un terme, comme
qui (abstraction faite du signe) ne surpasse pas la moitié du terme correspondant
de la série ![{\displaystyle \mathrm {D_{1},D_{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b80cc245776d7de82808093c0092c7c717b3a91)
non plus que la moitié du terme suivant
Alors on pourra faire
![{\displaystyle \mathrm {D_{\rho }=L} ,\quad n_{\rho }=\mathrm {N,\quad D_{\rho +1}=M} ,\quad {\text{et}}\quad \theta _{\rho }=\psi ,\quad \theta _{\rho +1}=\xi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535437cd6071da01f9ad598b539c94f884ff6410)
ou bien
![{\displaystyle \mathrm {D_{\rho }=M,\quad D_{\rho +1}=L} ,\quad {\text{et}}\quad \theta _{\rho }=\xi ,\quad \theta _{\rho +1}=\psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ad585a6279ce061ce78cd481468bfc70e778f3)
Nous supposerons toujours par la suite qu’on ait pris pour
le plus petit des deux nombres
71. L’équation
![{\displaystyle \mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {D} z^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cb2babf94a865fe7891dec1dc75af0873a2e7c)
sera donc réduite à celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {L} \xi ^{2}-2\mathrm {N} \xi \psi +\mathrm {M} \psi ^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb56a6c8ff8119e7e74de19e29a04ae26171cd4)