Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/129

par $\mathrm {D} _{1}$ l’autre coefficient ; et, vice versâ, je désigne par $\theta$ la variable dont le carré se trouvera multiplié par $\mathrm {D} _{1}$ et par $\theta _{1}$ l’autre variable ; en sorte que la formule proposée prenne cette forme

$\mathrm {D} _{1}\theta ^{2}-2n\theta \theta _{1}+\mathrm {D} \theta _{1}^{2},$

où $\mathrm {D} _{1}$ soit moindre que $\mathrm {D} \,;$ ensuite je n’aurai qu’à faire le calcul suivant :

${\begin{alignedat}{4}m\ \,&={\frac {n}{\mathrm {D} _{1}}},\qquad &n_{1}&=n\ \,-m\mathrm {D} _{1},\qquad &\mathrm {D} _{2}&={\frac {n_{1}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {D} _{1}}},\qquad &\theta \ \,&=m\ \,\theta _{1}+\theta _{2},\\m_{1}&={\frac {n_{1}}{\mathrm {D} _{2}}},&n_{2}&=n_{1}-m_{1}\mathrm {D} _{2},&\mathrm {D} _{3}&={\frac {n_{2}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {D} _{2}}},&\theta _{1}&=m_{1}\theta _{2}+\theta _{3},\\m_{2}&={\frac {n_{2}}{\mathrm {D} _{3}}},&n_{3}&=n_{2}-m_{2}\mathrm {D} _{3},&\mathrm {D} _{4}&={\frac {n_{3}^{2}-\mathrm {A} }{\mathrm {D} _{3}}},&\theta _{2}&=m_{2}\theta _{3}+\theta _{4},\\\ldots &\ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

où il faut bien remarquer que le signe $=,$ qui est mis après les lettres $m,m_{1},$$m_{2},\ldots ,$ n’indique pas une égalité parfaite, mais seulement une égalité aussi approchée qu’il est possible, en tant qu’on n’entend par $m,m_{1},m_{2},\ldots$ que des nombres entiers. Je n’ai employé ce signe $=$ que faute d’un autre signe convenable.

Ces opérations doivent être continuées jusqu’à ce que, dans la série $n,n_{1},n_{2},\ldots ,$ on trouve un terme, comme $n_{\rho },$ qui (abstraction faite du signe) ne surpasse pas la moitié du terme correspondant $\mathrm {D} _{\rho }$ de la série $\mathrm {D_{1},D_{2}} ,$$\mathrm {D_{3}} ,\ldots ,$ non plus que la moitié du terme suivant $\mathrm {D} _{\rho +1}.$ Alors on pourra faire

$\mathrm {D_{\rho }=L} ,\quad n_{\rho }=\mathrm {N,\quad D_{\rho +1}=M} ,\quad {\text{et}}\quad \theta _{\rho }=\psi ,\quad \theta _{\rho +1}=\xi ,$

ou bien

$\mathrm {D_{\rho }=M,\quad D_{\rho +1}=L} ,\quad {\text{et}}\quad \theta _{\rho }=\xi ,\quad \theta _{\rho +1}=\psi .$

Nous supposerons toujours par la suite qu’on ait pris pour $\mathrm {M}$ le plus petit des deux nombres $\mathrm {D_{\rho },D_{\rho +1}} .$

71. L’équation

$\mathrm {C} y^{2}-2nyz+\mathrm {D} z^{2}=1$

sera donc réduite à celle-ci

$\mathrm {L} \xi ^{2}-2\mathrm {N} \xi \psi +\mathrm {M} \psi ^{2}=1,$